求数列通项公式的十种方法
一、公式法
例1 已知数列{an}满足an?1?2an?3?2n，a1?2，求数列{an}的通项公式。 解：an?1?2an?3?2n两边除以2n?1，得以
a121an?12n?1?an2na?1anan33则n，故数列?，??{}是n?1nn22222an2n?22以?1为首项，
32为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得
3212)2。
an?12n?1n?1?(n?1)32，
所以数列{an}的通项公式为an?(n?评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?2an?3?2n转化为
{an2}是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出nan2n?an2n?32，说明数列
?1?(n?1)32，进而求出数列
{an}的通项公式。
二、利用
an?nn?S1(n?1)Sn?Sn?1(n?2)
n例2．若S和T分别表示数列{a}和{b}的前n项和，对任意正整数
nan??2(n?1)，Tn?3Sn?4n.求数列{bn}的通项公式；
解
?an??2(n?1)?a??41d??2Sn??n2?3n?Tn?3Sn?4n??3n2?5n： …
…2分 当n?1时,T1?b1??3?5??8 当n?2时,bn?Tn?Tn?1??6n?2?bn??6n?2.……4分
练习：1. 已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an 解: ∵10Sn=an2+5an+6， ① ∴10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3 又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2)，②
由①－②得 10an=(an2－an－12)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(an－an－1－5)=0 ∵an+an－1>0 ， ∴an－an－1=5 (n≥2)
当a1=3时，a3=13，a15=73 a1， a3，a15不成等比数列∴a1≠3;
2
当a1=2时， a3=12， a15=72， 有 a3=a1a15 ， ∴a1=2， ∴an=5n－3 2．（2006年全国卷I）设数列?an?的前n项的和
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Sn?43an?13?2n?1?23，n?1,2,3,???
（Ⅰ）求首项a1与通项an； （Ⅱ）设Tn?2nSn，n?1,2,3,???，证明：?Ti?i?1n32
解：（I）
a1?S1?43n43a1?13?2?1223，解得：a1n?2?2
?2n?1an?1?Sn?1?Sn?an?1?43an??23?2n?1??an?1?4?an?2n?
a所以数列?n?2n?是公比为4的等比数列
1所以：得：an（II）
Tn?2nan?2??a1?2??4
n?1?4?2Sn??32nnn （其中n为正整数）
13?22nn43an?n?1?23?4?433n?2n??3?21n?1?23?2?23n?1?1??2?1?n
Sn??2n?1?1??2?1??1?1???n?n?1?2?2?12?1?
所以： i?1三、累加法
?Ti?31?1?3??1?n?1??2?2?12?1?2
例3 已知数列{an}满足an?1?an?2n?1，a1?1，求数列{an}的通项公式。 解：由an?1?an?2n?1得an?1?an?2n?1则
an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a3?a2)?(a2?a1)?a1?[2(n?1)?1]?[2(n?2)?1]???(2?2?1)?(2?1?1)?1?2[(n?1)?(n?2)???2?1]?(n?1)?1?2(n?1)n22?(n?1)?1
?(n?1)(n?1)?1?n2所以数列{an}的通项公式为an?n。
评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?an?2n?1转化为an?1?an?2n?1，进而求出(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a3?a2)?(a2?a1)?a1，即得数列{an}的通项公式。
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例4 已知数列{an}满足an?1?an?2?3n?1，a1?3，求数列{an}的通项公式。 解：由an?1?an?2?3n?1得an?1?an?2?3n?1则
an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a3?a2)?(a2?a1)?a1?(2?3?2(3?2n?1?1)?(2?3n?2n?22?1)???(2?3?1)?(2?3?1)?3121n?1?3???3?3)?(n?1)?33(1?3nnn?1)
?(n?1)?31?3?3?3?n?1?3?3?n?1所以an?3n?n?1.
nn评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?an?2?3?1转化为an?1?an?2?3?1，
进而求出an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a3?a2)?(a2?a1)?a1，即得数列{an}的通项公式。
n例5已知数列{an}满足an?1?3an?2?3?1，a1?3，求数列{an}的通项公式。
n解：an?1?3an?2?3?1两边除以3n?1，得
an?13n?1?an3n?23?13n?1，
则
an?13n?1?an3n?23?13n?1，故
an3n?(?(?an323n?an?1an?11)?(2313nan?1an?11313n?an?23n?2)?(??an?231n?2?an?33)???(n?323?13a232?a13)?1a13?3)?(n?(??)?(n?1?132333)???(n?2???132)?233
2(n?1)31n?2n?1)?11因此
an3n?232(n?1)3?n?3?n?312n(1?31?3nn?1)?1?2n3?12?12?3n，
则an??3?12.
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评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?3an?2?3n?1转化为进而求出(an3nan?13n?1?an3n?23?13n?1，
?an?13)?(n?1an?13n?1?an?23n?2)?(an?23n?2?an?33)???(n?3a232?a13)?1a13，即得数列??an?n?3??的通项公式，最后再求数列{an}的通项公式。 四、累乘法
例6 已知数列{an}满足an?1?2(n?1)5n?an，a1?3，求数列{an}的通项公式。
an?1an解：因为an?1?2(n?1)5n?an，a1?3，所以an?0，则
anan?1a3a2??a1a2a1][2(n?2?1)5n?2?2(n?1)5，故
nan?an?1an?2n?1?????[2(n?1?1)5?2n?1]???[2(2?1)?5][2(1?1)?5]?3
?321[n(n?1)???3?2]?5n(n?1)n?1(n?1)?(n?2)???2?1?3?2?52?n!n(n?1)所以数列{an}的通项公式为an?3?2n?1?52?n!.
an?1ann评注：本题解题的关键是把递推关系an?1?2(n?1)5?an转化为
进而求?2(n?1)5，
n出
anan?1an?2?an?1???a3a2??a1，即得数列{an}的通项公式。 a2a1例7已知数列{an}满足a1?1，an?a1?2a2?3a3???(n?1)an?1(n?2)，求{an}的通项公式。
解：因为an?a1?2a2?3a3???(n?1)an?1(n?2) 所以an?1?a1?2a2?3a3???(n?1)an?1?nan 用②式－①式得an?1?an?nan. 则an?1?(n?1)an(n?2)
②
①
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故
an?1an?n?1(n?2)
所以an?anan?1an?2?an?1???a3a2?a2?[n(n?1)???4?3]a2?n!2a2. ③
由an?a1?2a2?3a3???(n?1)an?1(n?2)，取n?2得a2?a1?2a2，则a2?a1，又知
a1?1，则a2?1，代入③得an?1?3?4?5???n?n!2n!2。
所以，{an}的通项公式为an?.
评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?(n?1)an(n?2)转化为
an?1an?n?1(n?2)，
进而求出
anan?1an?2?an?1???a3a2从而可得当n?2时，an的表达式，最后再求出数列{an}的?a2，
通项公式。
五.构造等差或等比an??pan?q或an?1?pan?f(n)
例8（2006年福建卷）已知数列?an?满足a1?1,an?1?2an?1(n?N*).
求数列?an?的通项公式；
?an?1?1?2(an?1),
??an?1?是以a1?1?2为首项，2为公比的等比数列。
n解：?an?1?2an?1(n?N*),
?an?1?2.
即 an?2?1(n?N).
11n?1an?()，求an222*例9．已知数列?an?中，a1?1,an?1?解：在an?1?1。
1n?1n?1nan?()两边乘以2n?1得：2?an?1?(2?an)?1 22令bn?2n?an，则bn?1?bn?1,解之得：bn?b1?n?1?n?1 所以an?练习.
bn2n?n?12n
1n?2）已知数列{an}满足an?2an?1?2n?（，且a4?81。
（1）求a1，a2，a3；
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