（2）求数列{an}的通项公式。
（1）a1?5，a2?13，a3?33
解：
（2）an?2an?1?2n?1?an?1?2(an?1?1)?2n
?an?12n?an?1?12n?1?1?an?12n?n?1
∴an?(n?1)2n?1
六、待定系数法
例10已知数列{an}满足an?1?2an?3?5n，a1?6，求数列?an?的通项公式。 解：设an?1?x?5n?1?2(an?x?5n)
④
nnn?1n将an?1?2an?3?5代入④式，得2an?3?5?x?5?2an?2x?5，等式两边消去
2an，得3?5?x?5an?1?5n?1nnn?1代入④式得?2x?5，两边除以5，得3?5x?2x则,x??1,
⑤
n?1nnn?2(an?5)
由a1?5?6?5?1?0及⑤式得an?5?0，则
11nan?1?5an?5n?2，则数列{an?5}是以
na1?5?1为首项，以2为公比的等比数列，则an?5?2n?1n?1n，故an?2?5。
nn?1n评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?2an?3?5转化为an?1?5?2(an?5)，
nn从而可知数列{an?5}是等比数列，进而求出数列{an?5}的通项公式，最后再求出数列
{an}的通项公式。
n例11 已知数列{an}满足an?1?3an?5?2?4，a1?1，求数列{an}的通项公式。
n?1n解：设an?1?x?2?y?3(an?x?2?y)
⑥
n将an?1?3an?5?2?4代入⑥式，得
3an?5?2?4?x?2nn?1?y?3(an?x?2?y)
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n整理得(5?2x)?2n?4?y?3x?2n?3y。
?5?2x?3x?4?y?3yn?1令?，则??x?5?y?2，代入⑥式得
an?1?5?2?2?3(an?5?2?2)
n ⑦
由a1?5?21?2?1?12?13?0及⑦式，
an?1?5?2n?1n得an?5?2?2?0，则
n?2an?5?2?2?3，
故数列{an?5?2n?2}是以a1?5?21?2?1?12?13为首项，以3为公比的等比数列，因此an?5?2n?2?13?3n?1，则an?13?3n?1?5?2n?2。
n评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?3an?5?2?4转化为
an?1?5?2n?1?2?3(an?5?2?2)，从而可知数列{an?5?2?2}是等比数列，进而求
nnn出数列{an?5?2?2}的通项公式，最后再求数列{an}的通项公式。
2例12 已知数列{an}满足an?1?2an?3n?4n?5，a1?1，求数列{an}的通项公式。
22解：设an?1?x(n?1)?y(n?1)?z?2(an?xn?yn?z) ⑧
2将an?1?2an?3n?4n?5代入⑧式，得
2an?3n?4n?5?x(n?1)?y(n?1)?z?2(an?xn?yn?z)，则
2222an?(3?x)n?(2x?y?4)n?(x?y?z?5)?2an?2xn?2yn?2z
22等式两边消去2an，得(3?x)n?(2x?y?4)n?(x?y?z?5)?2xn?2yn?2z， ?3?x?2x?x?3??解方程组?2x?y?4?2y，则?y?10，代入⑧式，得
?x?y?z?5?2z?z?18??第 7 页 共 13 页
22an?1?3(n?1)?10(n?1)?18?2(an?3n?10n?18) ⑨
22由a1?3?12?10?1?18?1?31?32?0及⑨式，得an?3n2?10n?18?0
an?1?3(n?1)?10(n?1)?18an?3n?10n?1822则
2?2，故数列{an?3n?10n?18}为以
2a1?3?1?10?1?18?1?31?32为首项，以2为公比的等比数列，因此an?3n?10n?18?32?22n?1，则an?2n?4?3n2?10n?18。
评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?2an?3n2?4n?5转化为
an?1?3(n?1)?10(n?1)?18?2(an?3n?10n?18)，从而可知数列
22{an?3n?10n?18}是等比数列，进而求出数列{an?3n?10n?18}的通项公式，最后再
22求出数列{an}的通项公式。
七、对数变换法
n5例13 已知数列{an}满足an?1?2?3?an，a1?7，求数列{an}的通项公式。
n5n5解：因为an?1?2?3?an，a1?7，所以an?0，an?1?0。在an?1?2?3?an式两边取
常用对数得lgan?1?5lgan?nlg3?lg2 设lgan?1?x(n?1)?y?5(lgan?xn?y)
3将⑩式代入○11式，得5lgan?nlg?⑩ 11 ○
?1y)?5a(l?gxn?y，两边消去nlg?2xn?(5lgan并整理，得(lg3?x)n?x?y?lg2?5xn?5y，则
lg3?x???lg3?x?5x?4，故 ??x?y?lg2?5ylg3lg2??y???164?第 8 页 共 13 页
代入○11式，得lgan?1?由lga1?得lgan?lg34lg34lg316lg316lg34(n?1)?lg316lg34?lg24?5(lgan?lg316lg24lg34n?lg316?lg24) 12
○
?1??lg24lg24?lg7??1???0及12式，
○
n???0，
lgan?1?lg3则
lgan?4lg34(n?1)?n?lg316??lg24?5，
lg316n?lg24?所以数列{lgan?lg344lg31616lg24?4n?1}是以lg7??(lg7?lg344??lg316??lg244为首项，以5为公比的等
n?1比数列，则lgan?lg341lg3n?lg3lg2lg3lg316lg2)5，因此
lgan?(lg7??lg316?1lg24)5?lg34n?nlg36?lg24111n?1nn?1?(lg7?lg34?lg36?lg24)5111?lg34?lg316?lg2411?[lg(7?34?316?24)]5111?lg(34?316?24)n11
?lg(7?34?316?24)55n?1n?1?lg(34?316?24)5n?1?n5n?1?1?1?lg(7?lg(75n?1?3?34?3165n?1?2?144)5n?4n?15n?116?25n?1)5n?4n?1?1则an?75n?1?316?24。
n5评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式an?1?2?3?an转化为
lgan?1?{lgan?lg34lg34(n?1)?n?lg316?lg3164?lg24?5(lgan?lg34n?lg316?lg24)，从而可知数列lg34n?lg316?lg24}的通项
lg2}是等比数列，进而求出数列{lgan?公式，最后再求出数列{an}的通项公式。 八、迭代法
例14已知数列{an}满足an?1?an3(n?1)2n，a1?5，求数列{an}的通项公式。
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3(n?1)23n?2解：因为an?1?an，所以an?an?1nn?1?[an?23(n?1)?2n?2]3n?2n?1
?an?23(n?1)?n?22(n?2)?(n?1)?[an?3?an?3???a?a3131n?133(n?2)?2n?3]3(n?1)?n?22(n?2)?(n?1)3(n?2)(n?1)n?2(n?3)?(n?2)?(n?1)
?2?3??(n?2)?(n?1)?n?2n(n?1)1?2????(n?3)?(n?2)?(n?1)n?1?n!?22n(n?1)又a1?5，所以数列{an}的通项公式为an?53n?1?n!?22。
n3(n?1)2评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式an?1?ann两边取常用对数得lgan?1?3(n?1)?2?lgan，即
lgan?1lgan2再由累乘法可推知?3(n?1)2，
nlgan?lganlgan?1lgan?2?lgan?1n?1lga3lga23?n!?2?????lga1?lg5lga2lga1n(n?1)，从而an?53n?1?n!?2n(n?1)2。
九、数学归纳法
8(n?1)(2n?1)(2n?3)2例15已知数列{an}满足an?1?an?，a1?289，求数列{an}的通项公式。
解：由an?1?an?8(n?1)(2n?1)(2n?3)8(1?1)22及a1?89，得
a2?a1?a3?a2?a4?a3?(2?1?1)(2?1?3)8(2?1)222?89?24258?29?25???2425??48498081(2?2?1)(2?2?3)8(3?1)(2?3?1)(2?3?3)22??8?325?498?449?81
48492由此可猜测an?(2n?1)?1(2n?1)22，往下用数学归纳法证明这个结论。
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