（1）当n?1时，a1?(2?1?1)?1(2?1?1)22?89，所以等式成立。
（2）假设当n?k时等式成立，即ak?(2k?1)?1(2k?1)22，则当n?k?1时，
ak?1?ak?8(k?1)(2k?1)(2k?3)8(k?1)22
?(2k?1)?1(2k?1)222?(2k?1)(2k?3)222222?[(2k?1)?1](2k?3)?8(k?1)(2k?1)(2k?3)222?(2k?1)(2k?3)?(2k?3)?8(k?1)(2k?1)(2k?3)222222?(2k?1)(2k?3)?(2k?1)(2k?1)(2k?3)(2k?3)?1(2k?3)222
??[2(k?1)?1]?1[2(k?1)?1]2由此可知，当n?k?1时等式也成立。
根据（1），（2）可知，等式对任何n?N都成立。
评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。 十、换元法
例16已知数列{an}满足an?1?116(1?4an?1?24an)，a1?1，求数列{an}的通项公式。
*解：令bn?1?24an，则an?故an?1?1242124(bn?1) 12124(bn?1?1)，代入an?1?116124216(1?4an?1?24an)得
(bn?1?1)?[1?4(bn?1)?bn]
222即4bn?1?(bn?3)
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因为bn?1?24an?0，故bn?1?1?24an?1?0 则2bn?1?bn?3，即bn?1?可化为bn?1?3?1212bn?32，
(bn?3)，
12所以{bn?3}是以b1?3?1?24a1?3?1?24?1?3?2为首项，以
111为公比的等比数
列，因此bn?3?2()n?1?()n?2，则bn?()n?2?3，即1?24an?()n?2?3，得
222221n1n1()?()?。 34231an?评注：本题解题的关键是通过将1?24an的换元为bn，使得所给递推关系式转化
bn?1?12bn?32形式，从而可知数列{bn?3}为等比数列，进而求出数列{bn?3}的通项公式，
最后再求出数列{an}的通项公式。
附： 构造辅助数列 1．构造数列??1?ana?，使其为等差数列。 （形式：） ?n?1pan?1?an?an3an?1例：已知数列?an?满足 a1?1,an?1?的通向公式。 解： ? an?1?an3an?1，求证：??1?并求?an??是等差数列，
a?n?，?1an?1?1an?3，即
1an?1?1an??3.
?1?? ??是首项为1，公差为3的等差数列。
?an?1an?3n?2, an?13n?2 .
?
2. 构造数列??1?an???，使其为等比数列。（an?1?或Aan?Ban?c?0）
pa?qan?n?2anan?1 例：在数列?an?中，已知a1?2,an?1?，求证：数列?an?的通项公式。
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解：由a1?2,an?1?1an?1122anan?11可知，对n?N，an?0.
1an?1?1?1??. ?1??2?an? ?
??2an，即
12?1?又?a1?1, ??11a1?1??.
?数列?1?11?1?是首项为?，公比为的等比数列.
22?an?n?11?1? ? ?1????an2?2??1?????. ?2?n ? an?2nn2?1
3. 构造数列?an?1??an?，使其为等比数列。 an?2?pan?1?qan?1
例：已知数列?an?满足a1?1,a2?3，an?2?3an?1?2an?1，求?an?的通项公式。 解：设 an?2??an?1???an?1??an?1?，即an?2??????an?1???an?1,
则 an?2??????an?1???an?1,与an?2?3an?1?2an?1 比较后的得
????3,????2.
? ???2,??1
或 ???1,??2.
当???1,??2时，an?2?an?1?2?an?1?an?1?，?an?1?an?是以a2?a1?2为首项，2为公比的等比数列。?an?1?an?2n
?an??an?an?1???an?1?an?2?????a2?a1??a1
?2n?1?2n?2???2?1 ?2n?1(n?2).
经验证，n=1时适合上式，?an?2n?1. 同理，当???2,??1时，也得到an?2n?1. 综上知an?2n?1.
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