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pM???2? M????? (3-5) 1??Ker???1?u??Kei??????r??1??uKe?p2??u?1???eK? i (3-6) ? Q??pl?u?Ke?r??2l22?r??K??e?i (3-7)
?式中Ker??，Ker?，Kei??，Kei?都是零阶汤姆生函数，无为复杂的无穷级数展开式。这些函数的展开式及其导数的递推关系：
??2l?
2 l?3r2?1??2?h2u2? 4 式中?，h分别为壳的柏松比和厚度
因为绵核桃壳是脆性材料，几乎没有塑性变形，?值接近于零，故可认为?=0，于是式（2-3）~（2-7）可简化为
pl2?11? N??? ??Ker???2? （3-10）
?r????pl2 N???r M????11?? （3-11） Kei??Ker???2?????? K??e?i （3-12）
?p?1Ke?r?2???? M???p1Ke??i （3-13） 2??Q??plKer?? （3-14） 2?r?2?3rh （3-15） 因此，当均匀薄壳的r,h给定时，在集中力附近区域内任一角的圆截面上的内力就可以算出。那当然准确地求出这些内力值是比较复杂的。下面讨论集中处的内力值。
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当?=0时，由式（2-8）可得?=0，零阶汤姆生函数的数值为
Ker???0??? Ker????0??? ?0
Kei???0???4 Kei????0?11???Ker??? ?2?????08????1?Ker??Kei???? ???????0?11???Kei??Ker???? ?2??????08??1??Kei???? ???????0因此，在集中力处的内力为
N??N???3p 8h Q???? M???? M????3.1.3结论
（1）对整个球壳而言，内力N?，N?在集中力处最大，在最大圆截面上最小，两者相差的倍数K为
K?3p8hp2?r?23?r （3-16） 8h根据第二章中对绵核桃的物理特性的没定结果表明，取r=15.93，h=1.564代入式中，可得K=13.586。因此，当均匀薄球壳受一对法向集中作用时，破裂裂纹将首先出现在集中处。
（2）作用在球壳上的外力越大，球壳越容易发生破裂。
（3）不同厚度的均匀薄球壳受相同的外力作用时，薄壳所产生的内力要比厚壳大，因此，薄壳比厚壳容易发生破裂。
3.2均匀薄球壳在一对法向集中力作用下的位移 与内力计算一样，整个球壳上的位移也分为两个区域加以计算。
3.2.1远离集中力作用点区域的位移
根据无矩理论推出经线方向位移U和法线方向位移W的基本公式。由于是轴对称变形，故在球壳纬线方向上的位移V为零。
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p （3-17） rc?h?u?r?1 （3-18） w?ch???? ?? 式中 p? ?1?
2pr?1????? （3-19）
?Eh1N???N?? （3-20） ?Eh??lntg?2 （3-21）
sin? （3-22）
ch??1对于绵核桃，可认为U=0，于是式可简化为 2pr? （3-23） p??Eh1?1?N? （3-24）
Eh根据式（3-1）
N???2p??ch2? （3-25） 22?rsin?2?r把（3-25）代入（3-24）得 pch2? （3-25） ?1??2?rEh把（3-23）代入（3-17）中
2p?? ?? （3-26） ?Ehc?h把（3-25），（3-26）代入（3-18）中，导化简得 p2?41??th??ch?? W???? （3-27） 2?rEh?式中ch?，th?分别为双曲余弦正切函数。根据式可计量某一球心角的经线方向位移U和法线方向位移W。
由于集中力是沿法线方向作用的，法线方向的位移W要比切线方向的位移U大得多。 因此，讨论法向位移W及其与外力P之间的关系。
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令 C? 则W?1?4?1??th???ch2???? （3-28） 2?p?C （3-29） Eh根据式（3-28），（3-21）就可算出不同的?时的C值
? C 0 5 -22.3 15 -2.95 30 45 51．4 60 0.149 75 0.324 90 0.578 ?? -0.730 -0.177 0 在集中力作用处，W趋于无穷大，这是因为没有考虑作用的缘故。?角越大，W就很快衰减，当?=51.4时，W=0，即薄壳在这一点即不产生压缩也不产生外伸位移。当?角大于51.4时，位移的方向由向内变为向外，向外拉伸薄球壳。当?=90，外拉伸位移达到最大值。
即W?3p 2?Eh3.2.2法向位移W的相对比值
根据地式可算出不同角时的法向位移W?与集中力处的法向位移W0的比值B，即
B?W?W0?pp??所以不同?角?C???2.205??，因为表3-2中给出了不同的?角下的C值，
EhEh??的比值是很容易算出的，表给出了几个特殊的?角下的B。
表3-2 不同?下的比值
?（度） B 0 1 45 0．080 60 -0.067 90 -0.262 3.3绵核桃剥壳取仁机理理论分析
根据第二章的分析，绵核可简化为球形薄壳，根据薄壳理论，球形薄壳受压能力强，受弯能力差，概据断裂理论，应力集中点和裂纹处是断裂源。因此，绵核桃受力点和裂纹越多，越容易剥壳。弯矩越大，越容易剥壳，为了说明问题，在分析均匀薄球壳在一对法向集中力作用下的内力和位移的基础上，我们从下面几个方面分析比较，从而得到最合理的参数。
3.3.1不同个数集中力作用下的位移
压缩变形量是机器上的挤压装置作用在壳上一点向里挤压的压缩量，当然这种压缩量
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是由外力产生的。壳在这一点的实际压缩变形量称为位移；外力与位移成正比。当壳上作用着一对集中力时，压缩变形量为?，则位移也为?。但当壳上作用均匀的二、三、四对法向力时，位移与压缩变形是不相等的。这是因为各对集中力之间有相互影响，为了简化计算，计算二、三、四对集中力时，采用线性叠加的方法，为此，我们先计算一对集中力作用下，几个特殊位置的位移 ，根据表3-2，当?分别为90，60，45时，其压缩变形量分别为?0.262?，?0.0676?，?0.080?，“—”表示壳在这个位置不是压缩而是向外伸长，再在集中力作用点处线性叠加，根据此法，当壳上作用均匀的二、三、四对法向集中力时（3-3），压缩变形量均为?，壳上集中力处的位移分别计算如下：
二对集中力下的位移为： ??0.262??1.262? 三对集中力下的位移为： ??2?0.0676??1.134? 四对集中力下的位移为： ??0.262??2?0.080??1.102? 根据计算结果得，在二对法向集中力作用下，壳上的位移最大。
根据计算结果得，在二对法向集中力作用下，壳上的位移最大，则作用在壳上的外力最大。根据内力分析研究的几点结论，壳中产生的内力也是最大的，壳最容易民生破裂。
集中力个数越多，分布曲线越陡，弯曲应力越大，核桃容易破裂，但是集中力个数越多，薄壳所能承受的外力越大，核桃反而不易实现。综合考虑，二对集中力作用下效果最佳。
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