→→
设n＝(x1，y1，z1)是平面PCN的法向量，则n2PC＝0，n2CN＝0，
?－x1＋y1－2z1＝0，可得?
?－2x1＋y1＝0，
所以cos〈m，n〉＝
令x1＝2，则y1＝4，z1＝2，即n＝(2,4，2)，
m2n52533
＝＝，
|m||n|333322
533
则二面角N－PC－B的余弦值为. 33
2．(20172常州期末)如图，以正四棱锥V－ABCD的底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系O－xyz，其中Ox∥BC，Oy∥AB，E为VC的中点．正四棱锥的底面边长为2a，高为h，15→→
且有cos〈BE，DE〉＝－.
49(1)求的值；
(2)求二面角B－VC－D的余弦值．
ha
解 (1)根据条件，可得B(a，a,0)，C(－a，a,0)，D(－a，－a,0)，V(0,0，h)，E?－，，?，
?222?
?aah?ah?→?a3h?→?3
所以BE＝?－a，－，?，DE＝?，a，?，
22??2?222?h－6a→→
故cos〈BE，DE〉＝2. h＋10a2
15h－6a15→→
又cos〈BE，DE〉＝－，则2， 2＝－49h＋10a49
2
2
2
2
h3
解得＝.
a2
a3?→?a33?h3→?3
(2)由＝，得BE＝?－a，－，a?，DE＝?，a，a?，
24?a2?2?224?
→→
且容易得到，CB＝(2a,0,0)，DC＝(0,2a,0)． 设平面BVC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)， →??n12BE＝0，
则?
→??n12CB＝0.
3a3??－ax1－y1＋az1＝0，
24即?2
??2ax1＝0，
??x1＝0，
则?
?2y1＝3z1，?
取y1＝3，z1＝2，则n1＝(0,3,2)．
同理可得平面DVC的一个法向量为n2＝(－3,0,2)． cos〈n1，n2〉＝
n12n203?－3?＋330＋2324
＝＝，
|n1||n2|1313313
4
结合图形，可以知道二面角B－VC－D的余弦值为－.
13
3．(20172南京学情调研)如图，在底面为正方形的四棱锥P－ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，
PD＝DC，E是线段PC的中点．
(1)求异面直线AP与BE所成角的大小；
(2)若点F在线段PB上，且使得二面角F－DE－B的正弦值为
3PF，求的值． 3PB
解 (1)在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，所以DA，DC，DP→→→
两两垂直，故以{DA，DC，DP}为正交基底，建立空间直角坐标系D－xyz.
因为PD＝DC，所以DA＝DC＝DP， 不妨设DA＝DC＝DP＝2，
则D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，B(2,2,0)． 因为E是PC的中点，所以E(0,1,1)， →→
所以AP＝(－2,0,2)，BE＝(－2，－1,1)， →→AP2BE3→→
所以cos〈AP，BE〉＝＝，
→→2|AP||BE|π→→
从而〈AP，BE〉＝.
6
π
因此异面直线AP与BE所成角的大小为. 6
→→→
(2)由(1)可知，DE＝(0,1,1)，DB＝(2,2,0)，PB＝(2,2，－2)． →→→
设PF＝λPB，则PF＝(2λ，2λ，－2λ)， →→→
从而DF＝DP＋PF＝(2λ，2λ，2－2λ)． 设m＝(x1，y1，z1)为平面DEF的法向量， →??m2DF＝0，
则?
→??m2DE＝0，
??λx1＋λy1＋?1－λ?z1＝0，
即?
?y1＋z1＝0，?
取z1＝λ，则y1＝－λ，x1＝2λ－1.
故m＝(2λ－1，－λ，λ)为平面DEF的一个法向量， 设n＝(x2，y2，z2)为平面DEB的法向量． →??n2DB＝0，
则?
→??n2DE＝0，
??2x2＋2y2＝0，
即?
?y2＋z2＝0，?
取x2＝1，则y2＝－1，z2＝1.
所以n＝(1，－1,1)为平面BDE的一个法向量． 因为二面角F－DE－B的余弦值的绝对值为|m2n|
即|cos〈m，n〉|＝＝6
， 3
＝2
6
， 3
|4λ－1|32?2λ－1?＋2λ
2
|m||n|化简得4λ＝1.
因为点F在线段PB上，所以0≤λ≤1， 1PF1
所以λ＝，即＝. 2PB2
4.(20172苏北四市一模)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，
2
AD＝AP＝4，AB＝BC＝2，M为PC的中点．
(1)求异面直线AP，BM所成角的余弦值；
4
(2)点N在线段AD上，且AN＝λ，若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，求λ的值．
5解 (1)因为PA⊥平面ABCD，且AB，AD?平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD. 又因为∠BAD＝90°，所以PA，AB，AD两两互相垂直．
分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则由AD＝2AB＝2BC＝4，PA＝4可得
A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,4,0)，P(0,0,4)．
又因为M为PC的中点，所以M(1,1,2)． →→
所以BM＝(－1,1,2)，AP＝(0,0,4)， →→AP2BM→→
所以cos〈AP，BM〉＝ →→|AP||BM|03?－1?＋031＋4326＝＝，
3436所以异面直线AP，BM所成角的余弦值为
6
. 3
→→
(2)因为AN＝λ，所以N(0，λ，0)(0≤λ≤4)，则MN＝(－1，λ－1，－2)，BC＝(0,2,0)，→
PB＝(2,0，－4)．
设平面PBC的法向量为m＝(x，y，z)， →??m2BC＝0，
则?
→??m2PB＝0，
??2y＝0，
即?
?2x－4z＝0.?
令x＝2，解得y＝0，z＝1，所以m＝(2,0,1)是平面
PBC的一个法向量．
4
因为直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，
5
→
|MN2m||－2－2|4→
所以|cos〈MN，m〉|＝＝＝，解得λ＝1∈[0,4]，所以λ的值2
→55＋?λ－1?25|MN||m|为1.
5．离散型随机变量的概率分布
1．(20172南京、盐城一模)某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课(上午不排该课程)，张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程．
(1)求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；
(2)设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X，求X的概率分布与数学期望E(X)． 32解 (1)这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率为P＝1－＝. 3333
?1??2?5－kk?1?k(2)由题意得X～B?5，?，P(X＝k)＝C5??2??，k＝0,1,2,3,4,5.
?3??3??3?
所以X的概率分布为 X P
0 32 2431 80 2432 80 2433 40 2434 10 2435 1 24315
所以X的数学期望为E(X)＝53＝.
33
2．一位网民在网上光顾某网店，经过一番浏览后，对该店铺中的A，B，C三种商品有购买32
意向．已知该网民购买A种商品的概率为，购买B种商品的概率为，购买C种商品的概率
431
为.假设该网民是否购买这三种商品相互独立． 2(1)求该网民至少购买2种商品的概率；
(2)用随机变量η表示该网民购买商品的种数，求η的概率分布和数学期望． 解 (1)该网民恰好购买2种商品的概率为
P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＝33＋33＋33＝；
3211
该网民恰好购买3种商品的概率为P(ABC)＝33＝，
432411117
所以P＝＋＝.
24424
17
故该网民至少购买2种商品的概率为.
24(2)随机变量η的可能取值为0,1,2,3，
111
由(1)知，P(η＝2)＝，P(η＝3)＝，而P(η＝0)＝
244
3213
432411321211143224
P(ABC)＝33＝，
1
所以P(η＝1)＝1－P(η＝0)－P(η＝2)－P(η＝3)＝.
4随机变量η的概率分布为 114311224