(1)若cosC＝
6
，求证：2a－3c＝0； 3
4?π?(2)若B∈?0，?，且cos(A－B)＝，求sinB.
3?5?
31?π?(1)证明 因为sin?A＋?＝2cosA，得sinA＋cosA＝2cosA，
6?22?即sinA＝3cosA，因为A∈(0，π)，且cosA≠0， π
所以tanA＝3，所以A＝. 3因为sinC＋cosC＝1，cosC＝所以sinC＝
3， 3
32
2
2
6
，C∈(0，π)， 3
acasinA3
由正弦定理知＝，即＝＝＝，
sinAsinCcsinC32
3
即2a－3c＝0.
π?π??π?(2)解 因为B∈?0，?，所以A－B＝－B∈?0，?，
3?3?3??因为sin(A－B)＋cos(A－B)＝1， 3
所以sin(A－B)＝，
5
43－3
所以sin B＝sin(A－(A－B))＝sin Acos(A－B)－cosA2sin(A－B)＝. 102．已知函数f(x)＝ax－2x－lnx，a∈R.
(1)若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝b，求a＋b的值； (2)在(1)的条件下，求函数f(x)零点的个数． 12
解 (1)f′(x)＝3ax－2－，
3
2
2
x由题意，f′(1)＝0，f(1)＝b，解得，a＝1，b＝－1， 所以a＋b＝0.
(2)由(1)知，f(x)＝x－2x－lnx， 13x－2x－1
f′(x)＝3x－2－＝
2
33
xx?x－1??3x＋3x＋1?＝，
2
x
令f′(x)＝0，得x＝1，
且当0＜x＜1时，f′(x)＜0；当x＞1时，f′(x)＞0， 所以函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．
?1?12?1?3
因为f(1)＝－1＜0，f??＝3－＋1＞0，f(e)＝e－2e－1＞0，函数f(x)在区间?，1?和
?e?ee?e?
[1，e]上的图象是一条不间断的曲线，由零点存在性定理，知函数f(x)有两个零点． 3．已知圆M：x＋(y－4)＝4，点P是直线l：x－2y＝0上的一动点，过点P作圆M的切线
2
2
PA，PB，切点为A，B.
(1)当切线PA的长度为23时，求点P的坐标；
(2)若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由； (3)求线段AB长度的最小值．
解 (1)由题意可知，圆M的半径r＝2，设P(2b，b)， 因为PA是圆M的一条切线，A为切点， 所以∠MAP＝90°，
所以MP＝?0－2b?＋?4－b?＝AM＋AP＝4， 8
解得b＝0或b＝，
5所以P(0,0)或P?
2
2
2
2
?16，8?.
??55?
2
2
(2)设P(2b，b)，因为∠MAP＝90°，所以经过A，P，M三点的圆N以MP为直径，
?b＋4?2＝4b＋?b－4?，
其方程为(x－b)＋?y－
2?4??
2
即(2x＋y－4)b－(x＋y－4y)＝0.
??2x＋y－4＝0，
由?22
?x＋y－4y＝0，?
22
?x＝0，解得?
?y＝4，
8x＝，??5或?4
y＝??5，
2
2
?84?所以圆过定点(0,4)，?，?.
?55?
2
2
?b＋4?2＝4b＋?b－4?，
(3)因为圆N方程为(x－b)＋?y－?2?4?
即x＋y－2bx－(b＋4)y＋4b＝0.①
圆M：x＋(y－4)＝4，即x＋y－8y＋12＝0.② ②－①得圆M与圆N的相交弦AB所在直线方程为
2
2
2
2
2
2bx＋(b－4)y＋12－4b＝0， 点M到直线AB的距离d＝， 2
5b－8b＋164
1－2 5b－8b＋164
相交弦长AB＝24－d＝4
4
. 464??2
5?b－?＋?5?5
2
＝41－
4
当b＝时，AB有最小值11.
5
4．如图是一“T”型水渠的平面视图(俯视图)，水渠的南北方向和东西方向轴截面均为矩形，南北向渠宽为4m，东西向渠宽2m(从拐角处，即图中A，B处开始)．假定渠内的水面始终保持水平位置(即无高度差)．
(1)在水平面内，过点A的一条直线与水渠的内壁交于P，Q两点，且与水渠的一边的夹角为π??θ?0＜θ＜?，将线段PQ的长度l表示为θ的函数；
2??
(2)若从南面漂来一根长为7m的笔直的竹竿(粗细不计)，竹竿始终浮于水平面内，且不发生形变，问：这根竹竿能否从拐角处一直漂向东西向的水渠(不会卡住)？请说明理由．
2424
解 (1)由题意，PA＝，QA＝，所以l＝PA＋QA＝＋sinθcosθsinθcosθ24?π?(2)设f(θ)＝＋，θ∈?0，?.
2?sinθcosθ?
2cosθ4sinθ2?22sinθ－cosθ?
由f′(θ)＝－＋＝， 2222sinθcosθsinθcosθ令f′(θ)＝0，得tanθ0＝
2
. 2
3
3
?0＜θ＜π?. ??2??
π??且当θ∈(0，θ0)，f′(θ)＜0；当θ∈?θ0，?，f′(θ)＞0，所以f(θ)在(0，θ0)
2??π??上单调递减，在?θ0，?上单调递增，
2??
所以当θ＝θ0时，f(θ)取得极小值，即为最小值． 当tanθ0＝
212
时，sinθ0＝，cosθ0＝，所以f(θ)的最小值为36， 233
即这根竹竿能通过拐角处的长度的最大值为36m.因为36＞7，所以这根竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠．
解答题滚动练7
1．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱长都相等，且∠ABB1＝60°，D为AC的中点，求证：
(1)B1C∥平面A1BD； (2)AB⊥B1C.
证明 (1)连结AB1交A1B于点E，连结DE. 因为D，E分别为AC，AB1的中点，所以DE∥B1C. 因为DE?平面A1BD，B1C?平面A1BD， 所以B1C∥平面A1BD.
(2)取AB的中点O，连结OC，OB1.
因为BA＝BB1，且∠ABB1＝60°，所以△ABB1为正三角形，而O为AB的中点，所以OB1⊥AB. 在正三角形ABC中，O为AB中点，所以OC⊥AB. 因为OB1∩OC＝O，且OB1?平面OB1C，OC?平面OB1C， 所以AB⊥平面OB1C.
又因为B1C?平面OB1C，所以AB⊥B1C.
2．已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝t(Sn－an＋1)(t为常数，且t≠0，t≠1)． (1)证明：{an}成等比数列；
(2)设bn＝an＋Sn2an，若数列{bn}为等比数列，求t的值． (1)证明 当n＝1时，S1＝t(S1－a1＋1)，得a1＝t，
当n≥2时，Sn＝t(Sn－an＋1)，即(1－t)Sn＝－tan＋t，(1－t)Sn－1＝－tan－1＋t， 所以an＝tan－1，故{an}成等比数列．
(2)解 由(1)知{an}成等比数列且公比是t，∴an＝t，
n2
t?1－tn?nt2n＋tn＋1－2t2n＋1
故bn＝(t)＋2t，即bn＝. 1－t1－tn2
若数列{bn}是等比数列，则有b2＝b12b3，而b1＝2t，b2＝t(2t＋1)，b3＝t(2t＋t＋1)， 11?1?n32242
故[t(2t＋1)]＝(2t)2t(2t＋t＋1)，解得t＝，再将t＝代入bn得bn＝??，
22?2?
22342
由
bn＋111
＝知{bn}为等比数列，所以t＝. bn22
3．图1是一段半圆柱形水渠的直观图，其横断面如图2所示，其中C为半圆弧?ACB的中点，渠宽AB为2m.
(1)当渠中水深CD为0.4m时，求水面的宽度；
(2)若把这条水渠改挖(不准填土)成横断面为等腰梯形的水渠，且使渠的底面与地面平行，则当改挖后的水渠底宽为多少时，所挖出的土量最少？
解 (1) 如图，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，以1m为单位长度，建立平面直角坐标系xOy.
半圆弧?ACB的方程为x＋y＝1(y≤0)，
2
2
A(－1,0)，B(1,0)，C(0，－1)，D(0，－0.6)．
直线y＝－0.6与半圆弧的交点为(±0.8，－0.6)． 答 所求的水面宽度为1.6 m.
(2)要使得所挖出的土量最少，则等腰梯形的两腰及下底与半圆弧?ACB相切．
π??－设等腰梯形的右腰与半圆弧?相切于点T(cosθ，sin θ)ACB?2<θ<0?，则切线EF的方
??程为xcosθ＋ysinθ＝1. 令y＝0，得E?
?1，0?，
?
?cos θ??1＋sin θ，－1?，
?
?cos θ?
令y＝－1，得F?
设梯形OCFE的面积为S，则
S＝(CF＋OE)2OC
1＋sin θ1?1
＋＝?cos θ2?cos θ2＋sin θ
＝， 2cos θ
12
?31 ??