η 0 1 241 1 42 11 243 1 4P
1111123
所以随机变量η的数学期望E(η)＝03＋13＋23＋33＝. 24424412
3．(20172南京学情调研)甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一次篮，先投中者获胜，投篮2
进行到有人获胜或每人都已投球3次时结束．设甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命52
中的概率为，且各次投篮互不影响．现由甲先投．
3(1)求甲获胜的概率；
(2)求投篮结束时甲的投篮次数X的概率分布与数学期望．
解 (1)设甲第i次投中获胜的事件为A1(i＝1,2,3)，则A1，A2，A3彼此互斥． 甲获胜的事件为A1＋A2＋A3.
P(A1)＝，
P(A2)＝33＝，
3?2?1?222?P(A3)＝??3??3＝. ?5??3?5125
22262
所以P(A1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝. 525125125(2)X的所有可能取值为1,2,3. 2324
则P(X＝1)＝＋3＝，
5535
35
1235
225
25
P(X＝2)＝＋333＝， P(X＝3)＝??23??231＝. 53
即X的概率分布为 23255132435325
125
?3????1???
X P
1 4 52 4 253 1 2544131
所以数学期望E(X)＝13＋23＋33＝.
5252525
4．为了提高学生学习数学的兴趣，某校决定在每周的同一时间开设《数学史》、《生活中的
数学》、《数学与哲学》、《数学建模》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学每人均在四门校本课程中随机选一门进行学习，假设三人选择课程时互不影响，且每人选择每一课程都是等可能的．
(1)求甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率；
(2)设X为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数，求X的概率分布和数学期望E(X)． 解 (1)甲、乙、丙三人从四门课程中各任选一门，共有4＝64种不同的选法，记“甲、乙、2433丙三人选择的课程互不相同”为事件M，事件M共包含A4＝24个基本事件，则P(M)＝＝，
6483
所以甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率为. 8(2)方法一 X可能的取值为0,1,2,3. 327C33327
P(X＝0)＝3＝，P(X＝1)＝3＝，
464464C3339C31
P(X＝2)＝3＝，P(X＝3)＝3＝.
464464所以X的概率分布为
2
3
3
1
2
3
X P
0 27 641 27 642 9 643 1 642727913
所以E(X)＝03＋13＋23＋33＝.
646464644
方法二 甲、乙、丙三人从四门课程中任选一门，可以看成三次独立重复试验，X为甲、乙、
?1?k?1?k?3?3－k丙三人中选修《数学史》的人数，则X～B?3，?，所以P(X＝k)＝C3????，k＝0,1,2,3，
?4??4??4?
所以X的概率分布为
X P
0 27 641 27 642 9 643 1 6413
所以X的数学期望E(X)＝33＝.
44
6．计数原理、二项式定理和数学归纳法
1．已知等式(1＋x)
2n－1
＝(1＋x)
n－1
(1＋x).
n
(1)求(1＋x)
2n－1
的展开式中含x的项的系数，并化简：Cn－1Cn＋Cn－1Cn＋?＋Cn－1Cn；
22
n0n1n－1n－11
(2)证明：(Cn)＋2(Cn)＋?＋n(Cn)＝nC2n－1. (1)解 (1＋x)由(1＋x)
n－1
2n－1
12n2n的展开式中含x的项的系数为C2n－1，
n0
1
nn(1＋x)＝(Cn－1＋Cn－1x＋?＋Cn－1xn0
n－1n－1
)(Cn＋Cnx＋?＋Cnx)可知，(1＋x)
n－11
01nnn－1
(1＋x)
n的展开式中含x的项的系数为Cn－1Cn＋Cn－1Cn＋?＋Cn－1Cn. 所以Cn－1Cn＋Cn－1Cn＋?＋Cn－1Cn＝C2n－1. (2)证明 当k∈N时，kCn＝k2
－1
nCkn－1，
*
0
n1n－1
n1n－1n－11nkn！n！?n－1?！
＝＝n2＝
k！?n－k?！?k－1?！?n－k?！?k－1?！?n－k?！
n所以(Cn)＋2(Cn)＋?＋n(C)＝?[k(Cn)]＝n(kCnCn)＝n(nCn－1Cn)＝nn(Cn－1Cn)
12
22
n2
nk2kkk－1kk－1kk＝1
k＝1k＝1k＝1
＝nn(Cn－1Cn)．
n－kkk＝1
由(1)知Cn－1Cn＋Cn－1Cn＋?＋Cn－1Cn＝C2n－1， 即n(Cn－1Cn)＝C2n－1，
0n1n－1n－11nn－kknk＝1
所以(Cn)＋2(Cn)＋?＋n(Cn)＝nC2n－1.
2．(20172江苏泰州中学调研)在平面直角坐标系xOy中，点P(x0，y0)在曲线y＝x(x＞0)上．已知点A(0，－1)，Pn(x0，y0)，n∈N.记直线APn的斜率为kn. (1)若k1＝2，求P1的坐标； (2)若k1为偶数，求证：kn为偶数．
nn*
2
1222n2ny0＋1x20＋1
(1)解 因为k1＝2，所以＝＝2，
x0x0
解得x0＝1，y0＝1，所以P1的坐标为(1,1)．
y0＋1x20＋1
(2)证明 方法一 设k1＝2p(p∈N)，即＝＝2p.
x0x0
*
所以x0－2px0＋1＝0，所以x0＝p±p－1.
nynx210＋10＋1n因为y0＝x，所以kn＝n＝n＝x0＋n，
x0x0x0
2
0
22
所以当x0＝p＋p－1时，
1??n2n2nkn＝(p＋p－1)＋??＝(p＋p－1)＋(p－p－1). 2
?p＋p－1?
2
2
n同理，当x0＝p－p－1时，kn＝(p＋p－1)＋(p－p－1).
m22n2n①当n＝2m(m∈N)时，kn＝2?Cnp*
2kn－2k(p－1)，所以kn为偶数．
2kk＝0
m②当n＝2m＋1(m∈N)时，kn＝2?Cnpk＝0
2kn－2k(p－1)，所以kn为偶数．
2k综上，kn为偶数．
1??n＋11?n＋211?n方法二 因为?x0＋??x0＋n＋1?＝x0＋n＋2＋x0＋n，
xx?
0
??
0
?
x0x0
所以kn＋2＝k1kn＋1－kn.
1?2?2
x＋k2＝x＋2＝?0－2＝k1－2. ?x0?x0?
2
0
1
设命题p(n)：kn，kn＋1均为偶数．
以下用数学归纳法证明“命题p(n)是真命题”．
①因为k1是偶数，所以k2＝k1－2也是偶数．当n＝1时，p(n)是真命题；
②假设当n＝m(m∈N)时，p(n)是真命题，即km，km＋1均为偶数，则km＋2＝k1km＋1－km也是偶数，
即当n＝m＋1时，p(n)也是真命题．
由①②可知，对n∈N，p(n)均是真命题，从而kn是偶数．
π*3．(20172江苏扬州中学模拟)在数列{an}中，an＝cosn－2(n∈N)
332(1)试将an＋1表示为an的函数关系式； (2)若数列{bn}满足bn＝1－
2*
(n∈N)，猜想an与bn的大小关系，并证明你的结论． n2n！
**
2
π2π
解 (1)an＝cos＝cosn－2n－1 332332＝2?cos
?
?
π?2
n－1－1， 332??
2
∴an＝2an＋1－1， ∴an＋1＝±
*
an＋1
2
，
又n∈N，n＋1≥2，an＋1＞0， ∴an＋1＝an＋1
2
. 1
(2)当n＝1时，a1＝－，b1＝1－2＝－1，
2∴a1＞b1，
111
当n＝2时，a2＝，b2＝1－＝，
222∴a2＝b2，
当n＝3时，a3＝
318
，b3＝1－＝，∴a3＜b3， 299
猜想：当n≥3时，an＜bn，下面用数学归纳法证明． ①当n＝3时，由上知，a3＜b3，结论成立． ②假设当n＝k，k≥3，n∈N时，ak＜bk成立， 即ak＜1－
2
， k2k！
2－2k2k！
2
*
则当n＝k＋1时，ak＋1＝＝
1－
1
， k2k！
ak＋1
2
＜
bk＋1＝1－
2
，
?k＋1?2?k＋1?！
要证ak＋1＜bk＋1，即证明? 即证明1－即证明
??
1－
21?2??2
?＜?1－?k＋1?2?k＋1?！?， k2k！???
214??2，
＜1－＋??k2k！?k＋1?2?k＋1?！??k＋1?2?k＋1?！?
214??2＞0， －＋??k2k！?k＋1?2?k＋1?！??k＋1?2?k＋1?！?
2
2?k－1???2＞0，显然成立．
即证明＋??k?k＋1?2?k＋1?！??k＋1?2?k＋1?！?
∴n＝k＋1时，结论也成立．
综合①②可知：当n≥3时，an＜bn成立．
综上可得：当n＝1时，a1＞b1；当n＝2时，a2＝b2， 当n≥3，n∈N时，an＜bn.
4．已知fn(x)＝Cnx－Cn(x－1)＋?＋(－1)Cn(x－k)＋?＋(－1)Cn(x－n)，其中x∈R，n∈N，k∈N，k≤n.
(1)试求f1(x)，f2(x)，f3(x)的值；
(2)试猜测fn(x)关于n的表达式，并证明你的结论． 解 (1)f1(x)＝C1x－C1(x－1)＝1，
21222222f2(x)＝C02x－C2(x－1)＋C2(x－2)＝x－2(x－1)＋(x－2)＝2，
31323333333f3(x)＝C03x－C3(x－1)＋C3(x－2)－C3(x－3)＝x－3(x－1)＋3(x－2)－(x－3)＝6.
0
1
*
0n1
*
nkknnnn(2)猜测fn(x)＝n！，n∈N. 以下用数学归纳法证明．
①当n＝1时，f1(x)＝1，等式成立．
*