第四部分、数学运算上
（注意运算不要算错，看错！！！越简单的题，越要小心陷阱） 一．排列组合问题
1.??? 能不用排列组合尽量不用。用分步分类，避免错误 2.??? 分类处理方法，排除法。
例：要从三男两女中安排两人周日值班，至少有一名女职员参加，有（C1/2 *C1/3 +1）种不同的排法?
析：当只有一名女职员参加时，C1/2* C1/3； 当有两名女职员参加时，有1种 3．特殊位臵先排
????? 例：某单位安排五位工作人员在星期一至星期五值班，每人一天且不重复。若甲忆两人都不能安排星期五值班，则不同的排班方法共有（3 * P4/4）? ????? 析：先安排星期五，后其它。
4. 相同元素的分配（如名额等，每个组至少一个），隔板法。
????? 例：把12个小球放到编号不同的8个盒子里，每个盒子里至少有一个小球，共有（C7/11）种方法。?
????? 析：0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ，共有12－1个空，用8－1个隔板插入，一种插板方法对应一种分配方案，共有C7/11种，即所求。? ????? 注意：如果小球也有编号，则不能用隔板法。? 5. 相离问题（互不相邻）用插空法
????? 例：7人排成一排，甲、乙、丙3人互不相邻，有多少种排法？?
????? 析：| 0 | 0 | 0 | 0 |,分两步。第一步，排其它四个人的位臵，四个0代表其它四个人的位臵，有P4/4种。第二步，甲乙丙只能分别出现在不同的 | 上，有P3/5种，则P4/4 * P3/5即所求。
????? 例：在一张节目表中原有8个节目，若保持原有的相对顺序不变，再增加三个节目，求共有多少种安排方法？?
????? 析：思路一，用二次插空法。先放臵8个节目，有9个空位，先插一个节目有9种方法，现在有10个空位，再插一个节目有10种方法，现有11种空位，再插一种为11种方法。
则共有方法9*10*11。?
????? 思路二，可以这么考虑，在11个节目中把三个节目排定后，剩下的8个位臵就不用排了，因为8个位臵是固定的。因此共有方法P3/11?
6. 相邻问题用捆绑法?
????? 例：7人排成一排，甲、乙、丙3人必须相邻，有多少种排法？?
????? 析：把甲、乙、丙看作整体X。第一步，其它四个元素和X元素组成的数列，排列有P5/5种；第二步，再排X元素，有P3/3种。则排法是P5/5 * P3/3种。? 7. 定序问题用除法
????? 例：有1、2、3，...，9九个数字，可组成多少个没有重复数字，且百位数字大于十位数字，十位数字大于个位数字的5位数？?
????? 析：思路一：1－9，组成5位数有P5/9。假设后三位元素是（A和B和C，不分次序，ABC任取）时（其中B>C>A）,则这三位是排定的。假设B、C、A这个顺序，五位数有X种排法，那么其它的P3/3-1个顺序，都有X种排法。则X*(P3/3-1+1)=P5/9,即X=P5/9 / P3/3?
????? 思路二：分步。第一步，选前两位，有P2/9种可能性。第二步，选后三位。因为后三位只要数字选定，就只有一种排序，选定方式有C3/7种。即后三位有C3/7种可能性。则答案为P2/9 * C3/7? 8. 平均分组
例：有6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人两本。有多少种不同的分法？
析：分三步，先从6本书中取2本给一个人，再从剩下的4本中取2本给另一个人，剩下的2本给最后一人，共C2/6* C2/4 * C2/2
例：有6本不同的书，分成三份，每份两本。有多少种不同的分法？
析：分成三份，不区分顺序，是无序的，即方案(AB,CD,EF)和方案（AB,EF,CD）等是一样的。前面的在（C2/6* C2/4 * C2/2）个方案中，每一种分法，其重复的次数有P3/3种。则分法有，（C2/6* C2/4 * C2/2） /?? P3/3 种分法。 二．日期问题
1.闰年，2月是29天。平年，28天。
2.口诀：
平年加1，闰年加2；(由平年365天/7=52余1得出)。
例：2002年 9月1号是星期日? 2008年9月1号是星期几？
因为从2002到2008一共有6年，其中有4个平年，2个闰年，求星期，则： 4X1+2X2=8，此即在星期日的基础上加8，即加1，第二天。 例：2004年2月28日是星期六,那么2008年2月28日是星期几？? 4+1＝5，即是过5天，为星期四。（08年2 月29日没到） 三．集合问题
1.两交集通解公式（有两项）
公式为：满足条件一的个数+满足条件二的个数－两者都满足的个数＝总个数-两者都不满足的个数
其中满足条件一的个数是指 只满足条件一不满足条件二的个数 加上 两条件都满足的个数? 公式可以画图得出
例：有62名学生，会击剑的有11人，会游泳的有56人，两种都不会用的有4人，问两种都会的学生有多少人？?
思路一：两种都会+只会击剑不会游泳+只会游泳不会击剑＝62－4? 设都会的为T，11－T+56-T+T＝58，求得T=9? 思路二：套公式，11+56－T＝62－4，求得T＝9?
例：对某小区432户居民调查汽车与摩托车的拥有情况，其中有汽车的共27户，有摩托车的共108户，两种都没有的共305户，那么既有汽车又有摩托车的有多少户？? 析：套用公式27+108－T=432-305 得T=8
2.三交集公式（有三项）
例：学校教导处对100名同学进行调查，结果有58人喜欢看球赛，有38人喜欢看戏剧，有52人喜欢看电影。另外还知道，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧（但不喜欢看电影）的有6人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧（但不喜欢看球赛）的有4人，三种都喜欢的有12人，则只喜欢看电影的人有多少人？
INCLUDEPICTURE \http://pic.yupoo.com/zzallenzz/654236673275/zybx1c5b.jpg\RGEFORMATINET ?????
如图， U=喜欢球赛的 + 喜欢戏剧的 + 喜欢电影的?
X表示只喜欢球赛的人； Y表示只喜欢电影的人； Z表示只喜欢戏剧的人? T是三者都喜欢的人。即阴影部分。
a表示喜欢球赛和电影的人。仅此2项。不喜欢戏剧 b表示喜欢电影和戏剧的人。仅此2项。不喜欢球赛 c表示喜欢球赛和戏剧的人。仅此2项。不喜欢电影。?
A=X+Y+Z,B=a+b+c,A是只喜欢一项的人，B是只喜欢两项的人，T是喜欢三项的人。? 则U=喜欢球赛的 + 喜欢戏剧的 + 喜欢电影的 = (x＋a＋c＋T) + (y＋a＋b＋T) + (z＋b＋c＋T) 整理，即
A+2B+3T＝至少喜欢一项的人数人 又：A+B+T＝人数
再B+3T＝ 至少喜欢2项的人数和? 则
原题解如下：?
A+2*(6+4+c)+3*12=58+38+52? A+(6+4+c)+12=100? 求得c=14?
则只喜欢看电影的人=喜欢看电影的人数-只喜欢看电影又喜欢球赛的人-只喜欢看电影又喜欢看戏剧的人-三者都喜欢的人=52-14－4－12＝22人?
四．时钟问题 1.时针与分针
分针每分钟走1格，时针每60分钟5格，则时针每分钟走1/12格，每分钟时针比分针少走11/12格。
INCLUDEPICTURE \http://pic.yupoo.com/zzallenzz/125136673274/8ewbl47z.jpg\RGEFORMATINET
例：现在是2点，什么时候时针与分针第一次重合？
析：2点时候，时针处在第10格位臵，分针处于第0格，相差10格，则需经过10 /? 11/12 分钟的时间。
例：中午12点，时针与分针完全重合，那么到下次12点时，时针与分针重合多少次？ 析：时针与分针重合后再追随上，只可能分针追及了60格，则分针追赶时针一次，耗时60 / 11/12 ＝720/11分钟，而12小时能追随及12*60分钟/ 720/11 分钟/次=11次，第11次时，时针与分针又完全重合在12点。如果不算中午12点第一次重合的次数，应为11次。如果题目是到下次12点之前，重合几次，应为11-1次，因为不算最后一次重合的次数。 2.分针与秒针
秒针每秒钟走一格，分针每60秒钟走一格，则分针每秒钟走1/60格，每秒钟秒针比分针多走59/60格?
例：中午12点，秒针与分针完全重合，那么到下午1点时，两针重合多少次？
析：秒针与分针重合，秒针走比分针快，重合后再追上，只可能秒针追赶了60格，则秒针追分针一次耗时，60格/ 59/60格/秒= 3600/59秒。而到1点时，总共有时间3600秒，则能追赶，3600秒 / 3600/59秒/次=59次。第59次时，共追赶了，59次*3600/59秒/次=3600秒，分针走了60格，即经过1小时后，两针又重合在12点。则重合了59次。 3.时针与秒针
时针每秒走一格，时针3600秒走5格，则时针每秒走1/720格，每秒钟秒针比时针多走719/720格。?
例：中午12点，秒针与时针完全重合，那么到下次12点时，时针与秒针重合了多少次?? 析：重合后再追上，只可能是秒针追赶了时针60格，每秒钟追719/720格，则要一次要追60 / 719/720=43200/719 秒。而12个小时有12*3600秒时间，则可以追12*3600/43200/719＝710次。此时重合在12点位臵上，即重合了719次。 4.成角度问题
例：在时钟盘面上，1点45分时的时针与分针之间的夹角是多少？
INCLUDEPICTURE \http://pic.yupoo.com/zzallenzz/729196673273/guy066k2.jpg\RGEFORMATINET
析：一点时，时针分针差5格，到45分时，分针比时针多走了11/12*45＝41.25格，则分针此时在时针的右边36.25格，一格是360/60＝6度，则成夹角是,36.25*6=217.5度。? 5.相遇问题?
例：3点过多少分时，时针和分针离“3”的距离相等，并且在“3”的两边？?
析：作图，此题转化为时针以每分1/12速度的速度，分针以每分1格的速度相向而行，当时针和分针离3距离相等，两针相遇，行程15格，则耗时15 / 1+ 1/12 =180/13分。? 例：小明做作业的时间不足1时，他发现结束时手表上时针、分针的位臵正好与开始时时针、分针的位臵交换了一下。小明做作业用了多少时间？? 析：
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只可能是这个图形的情形，则分针走了大弧B-A，时针走了小弧A-B，即这段时间时针和分针共走了60格，而时针每分钟1/12格，分针1格，则总共走了60/ (1/12+1)=720/13分钟，即花了720/13分钟。? 五．方阵问题
1、方阵外一层总人数比内一层的总人数多8
2、每边人数与该层人数关系是：最外层总人数＝（边人数－1）×4? 3、方阵总人数＝最外层每边人数的平方
4、空心方阵的总人(或物)数=（最外层每边人(或物)数－空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4
5、去掉一行、一列的总人数=去掉的每边人数*2-1
例：某校的学生刚好排成一个方阵，最外层的人数是96人，问这个学校共有学生？ 析：最外层每边的人数是96/4+1＝25，刚共有学生25*25=625
例：五年级学生分成两队参加学校广播操比赛，他们排成甲乙两个方阵，其中甲方阵每边的人数等于8，如果两队合并，可以另排成一个空心的丙方阵，丙方阵每边的人数比乙方阵每边的人数多4人，甲方阵的人数正好填满丙方阵的空心。五年级参加广播操比赛的一共有多少人?
析：设乙最外边每人数为Y，则丙为Y+4. 8*8+Y*Y+8*8=(Y+4)(Y+4)
求出Y=14,则共有人数：14*14+8*8＝260
例：明明用围棋子摆成一个三层空心方阵，如果最外层每边有围棋子15个，明明摆这个方阵最里层一周共有多少棋子？摆这个三层空心方阵共用了多少个棋子? 析：最外层有(15-1)*4=56个。则里二层为56-8*2=40 应用公式，用棋子（15－3）*3*4＝144 六．几何问题
1.公式
INCLUDEPICTURE \http://pic.yupoo.com/zzallenzz/274586673273/uqtcofez.jpg\RGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE \http://pic.yupoo.com/zzallenzz/459076673272/z251g2uz.jpg\RGEFORMATINET
补：扇形面积＝1/2*r*l ???其中r为半径，l为弧长。
2.两三角形，有一角成互补角，或者有一角重合的面积关系。
INCLUDEPICTURE \http://pic.yupoo.com/zzallenzz/995666673271/zfmh421b.jpg\RGEFORMATINET ?
图1中，Sabc / Scde=BC/CE * AC/CD
图2中，Sabc / Sade=AB/AD * AC/AE (皆可通过作高，相似得到)
例： 如图，三角形ABC的面积为1，并且AE=3AB，BD=2BC，那么△BDE的面积是多少？ INCLUDEPICTURE \http://pic.yupoo.com/zzallenzz/742506673270/puo9adys.jpg\