第四章 流体动力学基础
学习要点：本章是该门课程的重点，熟练掌握三大方程的应用、伯努利方程的物理意义和流体力学意
义、适用条件及其修正等；掌握流函数与速度势函数的存在条件及其计算等；了解应力与应变之间的关系、理想流体的无漩流与有漩流、势流叠加原理等。
第一节 流体的运动微分方程
连续性微分方程是控制流体运动的运动学方程，还需建立控制流体运动的动力学方程，这就是流体的运动微分方程。
一、理想流体运动微分方程
在运动的理想流体中，取微小平行六面体(质点)，正交的三个边长dx,dy,dz,分别平行于x,y,z坐标轴(图4—1)。设六面体的中心点o＇，速度u压强ｐ，分析该微小六面体ｘ方向的受力和运动情况。
1.表面力：理想流体内不存在切应力，只有压强。
图4—1连续性微分方程
ｘ方向受压面(abcd面和a?b?c?d?面)形心点的压强为：
?p （4—1） pM?p?12?xdx?p （4—2） pN?p?12?xdx受压面上的压力为： PM?pMdydz （4—3）
PN?pNdydz （4—4）
质量力： FBx?X?dxdydz （4—5） 由牛顿第二定律
?p?x?Fxx，得： ?mdudt[(p?12?p）] dydz+X?dxdydz??dxdydzdx)-（p?12?xdxdux ，化简得： dtdux1?p?X????xdt?duy?1?p?Y???y?dt （4—6） ?duz1?pZ?????zdt? 45
?ux?ux?ux?ux1?p?X????u?u?uxyz?x?t?x?y?z???uy?uy?uy?uy1?p将加速度项展成欧拉法表达式 ?Y?? ??u?u?ux?xy?yz?z （4—7）?y?t?1?pZ?????utz?ux??uxz?uy??uyz?uz??uzz??z?用矢量表示为： f??1?p??u?t?u??u （4—8）
??上式即理想流体运动微分方程式，又称欧拉运动微分方程式。该式是牛顿第二定律的表达式，因此是控制理想流体运动的基本方程式。
1755年欧拉在所著的《流体运动的基本原理》中建立了欧拉运动微分方程式(4—7)，及上一节所述的连续性微分方程式。对于理想流体的运动，含有ux,uy,uz和ｐ四个未知量，由式(3—30)和式(3—36)组成的基本方程组，满足未知量和方程式数目一致，流动可以求解。因此说，欧拉运动微分方程和连续性微分方程奠定了理想流体动力学的理论基础。 二、粘性流体运动微分方程
一切实际流体都具有粘性，理想流体运动微分方程存在局限。为此需要建立粘性流体的运动微分方程，本书不做详细推导，仅从物理概念上做简要说明。
1．粘性流体的动压强
理想流体因无粘滞性，运动时不出现切应力，只有法向应力，即动压强ｐ。用类似分析流体静压强特性的方法，便可证明任一点动压强的大小与作用面的方位无关，是空间坐标和时间变量的函数，即：p?p(x,y,z,t)。
粘性流体的应力状态和理想流体不同，由于粘性作用，运动时出现切应力，使任一点的法向应力的大小与作用面的方位有关。如以应力符号的第—个下角标表示作用面的方位，第二个角标表示应力的方向，则法向应力pxx?pyy?pzz，进—步研究证明，同一点任意三个正交面上的法向应力之和都不变，即
pxx+pyy+pzz=p??+p??+p?? （4—9）
据此，在粘性流体中，把某点三个正交面上的法向应力的平均值定义为该点的动压强以p表示：
?? （4—10） p?13pxx?pyy?pzz如此定义，粘性流体的动压强也是空间坐标和时间变量的函数：
p?p?x,y,z,t? （4—11）
2.应力和变形速度的关系
粘性流体的应力与变形速度有关，其中法向应力与线变形速度有关，切应力则与角变形速度有关。
流动中某点的动压强p是过该点三个相互正交平面上法向应力的平均值，同某一平面上的法向应力有一定差值，称为附加法向应力，以p'xx,p'yy,p'zz。表示，它是流体微团在法线方向上发生线变形(伸长或缩短)引起的。
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?ux?pxx?p?p??p?2?xx?x??uy?? （4—12） p?p?p?p?2??yyyy?y??uz?p?p?p?p?2??zzzz?z?切应力与角变形速度的关系，在简单剪切流动中符合牛顿内摩擦定律??u内摩擦定律推广到一般空间流动,得出：
du，将牛顿dy??yz??zy??????zx??xz??????yx????xy3．粘性流体运动微分方程
???uz?y??uy?z??ux?z?uy?x???uxz （4—13） ???uyx???采用类似于推导理想流体运动微分方程式(4—6)的方法，取微小平行六面体，根据牛顿第二定律建立以应力(包括切应力)表示的运动微分方程式，并以式(4—12)、式(4—13)代人整理，使得到粘性流体运动微分方程：
?ux?ux?ux?ux21?p?X???x?v?ux??t?ux?x?uy?y?uz?z???uy?uy?uy?uy21?pY??v?u??u?u?u?yx?xy?yz?z （4—14） ??y?t?1?pZ???v?2uz???utz?ux??uxz?uy??uyz?uz??uzz??z?用矢量表示为：f?式中：?2?1?p?v?2u?2?u?t?u??u （4—15）
????2?x2???y2???z22——拉普拉斯（Laplace）算子。
自欧拉提出理想流体运动微分方程以来，法国工程师纳维(Claude.Louis.Marie.Henri. Navier，1785.2.10~1836.8.21，法国力学家、工程师)和英国数学家斯托克斯(G.Stokes，1819
－1903)等人经过近百年的研究，最终完成现在形式的粘性流体运动微分方程，又称为纳维—
斯托克斯方程(简写为N—S方程)。
N—S方程表示作用在单位质量流体上的质量力、表面力(压力和粘性力)和惯性力相平
衡。由N—S方程式和连续性微分方程式组成的基本方程组，原则上可以求解速度场ux,uy,uz和压强场
p,可以说粘性流体的运动分析，归结为对N—S方程的研究。
?ay,uy?bx,uz?0,a,b为常数。试求：(1)流动是否可能实现；(2)流
[例4—1] 理想流体速度场为ux线方程；(3)等压面方程(质量力忽略不计) 解：(1)由连续性微分方程
?ux?uy?uz???0，满足连续性条件，流动是可能实现的。 ?x?y?z (2)由流线方程
dxdydxdy??得：，bxdx?aydy， uxuyaybx2积分得流线方程： bx?ay2?c
a,b同号，流线是双曲线，a,b异号，流线是圆。
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??(3)由欧拉运动微分方程式(4—7)，不计质量力：?????????x1?p?uy?ux?ux?abx ?y?uy?x?aby1?p??y1?p?p(dx?dy)?ab(xdx?ydy)??x?y将方程组化为全微分形式: 1?dp?ab(xdx?ydy)??积分得：
x2?y2p???ab?c'
2令p=常数 即得等压面方程：
x2?y2?c
等压面是以坐标原点为中心的圆。
第二节 元流的伯努利方程
一、理想流体运动微分方程的伯努利积分
理想流体运动微分方程式是非线性偏微分方程组，只有特定条件下的积分，其中最为著名的是伯努利(Daniel Bernoull，1700～1782，瑞士科学家)积分。
?ux?ux?ux1?p?X???x?ux?x?uy?y?uz?z???uy?uy?uy1?pY??u?u?u?x?xy?yz?z （4—16） ??y?1?pZ???ux??uxz?uy??uyz?uz??uzz??z?由理想流体运动微分方程式(4—1)
dux1?p?X???x?dt?duy?1?p （4—17） Y?????ydt?1?pzZ???du??zdt?各式分别乘以流线上微分断面的坐标投影dx，dy，dz，然后相加，得：
1(Xdx?Ydy?Zdz)????p?xduxp?p=+dx??dy?dz?y?zdtdx?duydtz （4—18） dy+dudtdz1.引入限定条件：
①．作用在流体上的质量力只有重力：X?Y?0,Z??g
(Xdx?Ydy?Zdz)??gdz （4—19）
②.不可压缩，恒定流：??C,p?p?x,y,z?
??x1?p?p?p1dx???ydy??zdz??dp?d??? (4—20)
p?③.恒定流流线与迹线重合：dx?uxdt，dy?uydt，dz?uzdt则：
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duxdtdx+
duydtduzdy+dtdz=d?22ux?u2y?uz2?d??=
u22 (4—21)
将式(4—19),式（4—20）,式(4—21)带入式(4—18)，积分得：
?gz??p?u2?C （4—22）
2即： z?或： z1?p?u （4—23） ?2g?C2p1??2u12g=z2?p2??2u22g （4—24）
上述理想流体运动微分方程沿流线的积分称为伯努利积分，所得式(4—23)和式(4—24)均称为伯努利方程，以纪念在理想流体运动微分方程建立之前，1738年瑞士物理学家和数学家伯努利根据动能原理推出的用于计算流动问题的著名方程。
由于元流的过流断面积无限小，所以沿流线的伯努利方程就是元流的伯努利方程。推导该方程引入的限定条件，就是理想流体元流伯努利方程的应用条件，归纳起来有：理想流体、恒定流动、质量力中只有重力、沿元流(流线)、不可压缩流体。 二、伯努利方程的物理意义和几何意义
1.物理意义
式(4—23)中的前两项z、
p?和z?p?的物理意义，在第二章第三节中已说明，分别是
u2单位重量流体具有的比位能、压能和比势能；是单位重量流体具有的动能，即比动能和
2gu2单位动能。三项之和z??是单位重量流体具有的机械能，称为总比能或单位总能量。
?2gp式(4—24)则表示理想流体的恒定流动，沿同一维流(沿同一流线)。单位重量流体的机械能守恒。伯努利方程又称为能量方程。
2.流体力学意义
式(4—23)各项的流体力学意义为：z是位置水头，p?压强水头；两项之和Hp?z?p?是
u2测压管水头，是流速水头，能够直接量测，
2g量测原理在随后的例题中说明。三项之和
u2称为总水头。式(4—23)则表示理想z???2gp流体的恒定流动，沿同一维流(沿同一流线)各断面的总水头相等。理想流体的水头线是水平线(图4—2)。
3.几何意义
式(4—23)各项的几何意义是不同的几何高
图4—2水头线
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