当气流的密度和外界空气的密度相同??为零，式（4—43）化简为：
?a，或两计算点的高度相同z1?z2时，位压
p1?2?v12?p2?2?v22?pw； （4—44）
当气流的密度远大于外界空气的密度(????a)，此时相当于流体总流，式(4—44)中?a可忽略不计，认为各点的当地大气压相同，式(4—43)化简为：
p1?除以?，即：
2?v12???z2?z1??p2?2?v22?pw （4—45）
z1?p1???1v122g?z2?p2??2?2v22g?hw （4—46）
由此可见，对于流体总流来说，压强p1,p2不论是绝对压强，还是相对压强，伯努利方程的形式不变。
2.有能量输入或输出
总流伯努利方程式(4—36)是在两过流断面间除水头损失之外，在无能量输入或输出的条件下导出的。当面过流断面间有水泵、风机等被动机(图4—11)或水轮机、气轮机等原动机(图4—12)时，存在能量的输入或输出。
图4—11有能量输入的总流
图4—12有能量输出的总流
此种情况，根据能量守恒原理，计入单位重量流体经流体机械获得或失去的机械能，式(4—29)便扩展为有能量输入或输出的伯努利方程式：
z1?p1??2?1v12g?H?=z2?p2?+
?2v222g+hw （4—47）
式中：“±”——由于原动机给流体输出能量，故选负号；而被动机吸收流体的能量，故选正号。
3.两断面间有分流或汇流
总流的伯努利方程式(4—36)，是在两过流断面间无分流和汇流的条件下导出的。而实际的供水供气管道沿程多有分流和汇流，对于两断面间有分流的流动(图4—13)，设想1—1断面的来流，分为两股(以虚线划分)，分别通过2—2、3—3断面。
对1'?1'(1—l断面中的一部分)和2—2断面列伯努利方程，其间无分流：
图4—13沿程分流
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z1?p1?+
2v12g?z2?p2?2v2??hw1?2 （4—48） 2g因所取1—1断面为渐变流断面。向l各点的势能相等，则：
z1'?p'??z1?p1? （4—49）
如1—1断面流速分布较为均匀流，则：
v'21p1v21z1???Z1???2g?2g （4—50） ?p'2v12p2v2故 z1???2g?z2???2g?hw1?2 （4—51）
p1近似成立。同理可得：
2pv2 z1?p1?v1?z3?3?3?hw1?3（4—52）
?2g?2g由以上分析，对于实际I程中沿程分流的总流，当所取过流断面为渐变流断面，断面上流速分布较为均匀，并计人相应断而之间的水头损失。
若是汇流，即设想1—1、2—2断面的来流，合为3—3断面，同理可推导出伯努利方程：
222p3v3v12p2v2p2v2z1???z2???hw1?2，z2???z3???hw2?3
?2g?2g?2g?2gp1
第四节 恒定总流的动量方程
总流的动量方程是继连续性方程式、伯努利方程式(4—36)之后的第三个积分形式基本方程，它们在流体力学及水力学中习惯地被称为三大方程，应用极为广泛。下面由动量原理，推导总流的动量方程。 一、恒定总流的动量方程
1.总流的动量方程及其推导
设恒定总流，取过流断面Ⅰ－Ⅰ、Ⅱ－Ⅱ为渐变流 断面，面积为A1,A2，以过流断面及总流的侧表面围成 的空间为控制体(图4—14)。控制体内的流体，经dt时 间，由Ⅰ—Ⅰ运动到Ⅱ—Ⅱ位置。
在流过控制体的总流内，任取元流1—2，断面面积 为dA1、dA2，点流速为u1、u2，时间dt，元流动量的 增量为：
图4—14总流动量方程推导
dK?K1'?2'?K1?2?K1'?2?K2?2'?K1?1'?K1'?2 （4—53）
因为是恒定流，dt前后K1'?2无变化，则：
dK=K2?2'?K1?1'=?2u2dtdA2u2-?1u1dtdA1u1 （4—54）
????dt时间，总流动量的增量，因为过流断面为渐变流断面，各点的流速平行，按平行矢量
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??合成的法则，定义速度u1为u2方向的基本单位向量分别为i1为i2，得：
???????dK????2u2dtdA2u2?i2????1u1dtdA1u1?i1 （4—55）
?????A2??A1?对于不可压缩流体?1??2??，并引入校正系数，以断面平均流速代替点流速积分得
?dK??dt?2v2A2v2??dt?1v1A1v1??dtQ??2v2??1v1???Fdt （4—56）
式中?是为校正以断面平均速度计算的动量与实际动量的差异而引入的校正系数，称为流速分布不均匀动量校正系数。
2u?dAA??vA2 （4—57）
?值取决于过流断面上的速度分布，速度分布较均匀的流动，??1.02～1.05，通常取??1.0。
由动量原理，质点系动量的增量等于作用于该质点系上的外力的冲量：
?Fdt??dtQ??2v2??1v1? (4—58)
?F??Q??2v2??1v1?
??Fx??Q??2v2x??1v1x???投影式 ??Fy??Q??2v2y??1v1y? (4—59)
????Fz??Q??2v2z??1v1z?式(4—58)、式(4—59)就是恒定总流的动量方程。此方程表明，作用于控制体内流体上的外力，等于单位时间控制体流出动量与流入动量之差。综合推导式(4—59)规定的条件，总流动量方程的应用条件有：恒定流、过流断面为渐变流断面和不可压缩流体。
2.动量方程应用举例
【例4—5】 水平放置在混凝土支座上的变直径弯管，弯管两端与等直径管相连接处的断面1—1上压力表读数p1=17.6×104Pa，管中流量qv=0.1m3/s，若直径d1=300㎜，d2=200㎜，转角?=60°，如图4—14所示。求水对弯管作用力F的大小。
【解】 水流经弯管，动量发生变化，必然产
生作用力F。而F与管壁对水的反作用力R平衡。管道水平放置在xoy面上，将R分解成Rx和Ry两个分力。
取管道进、出两个截面和管内壁为控制面，如图所示，坐标按图示方向设置。 ⑴.根据连续性方程可求得：
图4—14
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v1?qv?4?d12 0.1?4???1.42m/s??0.32v2?qv?4?2d20.1?4
?3.18?m/s?2??0.2⑵.列管道进出口的伯努利方程
p12p2?p1??v12?v22?17.6?103?1000?1.422?3.1822?17.2?103?Pa?
??2v12p2v2????2g?2g，则：
??⑶.所取控制体受力分析，进、出口控制面上得总压力：
P1?p1A1?17.6?103??4?0.32?12.43（kN） ?0.22?5.40（kN）
P2?p2A2?17.6?103??4壁面对控制体内水的反力Rx、Ry，其方向先假定如图(4—14)所示。 ⑷.写出动量方程
选定坐标系后，凡是作用力（包括其分力）与坐标轴方向一致的，在方程中取正值；反之，为负值。 沿x轴方向：
P??P2?Rx??qVv2?v1cos?1cos??
Rx??qVv2?v1cos??P2?P1cos?
(KN) ?0.1?3.18?1.42cos60??5.40?12.43cos60???0.568沿y轴方向：P1sin??Rx??qV?0?v1sin??
??Ry?P1sin???qVv1sin??12.43sin60?0.1?1.42sin60?10.88????(KN)
管壁对水的反作用力：R22?Rx?Ry???0.568?2?10.882?10.89（KN）
水流对弯管的作用力F与R大小相等，方向相反。
总流动量方程是动量原理的总流表达式，方程给出了总流动量变化与作用力之间的关系。根据这一特点，求总流与边界面之间的相互作用力问题，以及因水头损失难以确定．运用伯努利方程受到限制的问题，适于用动量方程求解。 三、动量矩方程
上面对动量定理的推导过程中所用之方法、步骤，对动量矩定理也完全适用，而所得结果与动量定理完全相似，将动量换成动量矩就成为动量矩定理；这里不作重复的推导。
恒定流动的动量矩定理为：
Aou???r?v?vdA????r?v?vdA???r?F? (4—60)
nniiAIN上式表明，在流出面上的流出动量矩与流入面上的流入动量矩之差等于外力矩之和。 常见的流体机械中，离心式水泵、风机等都是将其机械能转换为流体的动能和压能的。水轮机、气轮机等则是利用流体的动能使叶片机械转动向外输出功率，其工作原理都是相同
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的。
图4—15表示水轮机叶轮的两个叶片所形成的槽道，流体自叶轮外径r1的圆周面流入槽道，经叶轮内径r2的圆周面流出槽道，进入叶轮中心区域的导管沿轴向流出；叶轮叶片就是在流体流动时获得力矩而转动向外做功的。
假定叶片数目足够多，则叶片间的槽道可近似为一维流动，各截面上的速度是均匀的。还假定叶轮作等角速?的漩转，则叶轮中流场虽为不恒定，但叶轮中的总体动量矩不随时间变化，
可适用恒定的动量矩公式，下面我们来导出水轮机(也称涡轮机)的动量矩公式。
先选取控制面：半径r1的进口圆周团和半径r2的出口圆周团之间的流体表面，其中包括各叶片与流体之接触面；
现在分析控制面上的运动情况及受力情况。设流体以相对速度vr经半径r1的圆周团流入叶片槽道，由于半径r1的圆周速度即牵连速度ve1?r1?，则流体流入槽道的绝对速度为
图4—15
v1?vr1?ve1 (4—61)
设绝对速度为v1与圆周切向夹角为?1．则其径向vn1分量和周向分量Vt1的大小分别为
vn1?v1sin?1 (4—62)
vt1?v1cos?1 (4—63)
同理，流体在流出半径r2圆周面上的相对速度vr2，牵连速度ve2?r2?，则绝对速度为
vr2?ve2 (4—64)
设绝对速度为V2与圆周切向夹角为?2，则其径向分量Vn2和周向分量Vt2的大小分别为
vn2?v2sin?2， (4—65) vt2＝v2cos?2 (4—66)
在流量为Q的情况下，流出控制面的动量矩为其切向动量?Qvt2与半径r2的乘积，即：
?Qvt2?r2??Qv2r2cos?2 (4—67)
同理，流入控制团的动量矩为其切向动量?QVt1与半径r1之乘积，即：
?Qvt1?r1??Qv1r1cos?1 (4—68)
假定无粘性力作用，则控制面中的两圆周面上的压力合力不产生力矩，只有叶片对流体的作用力矩M'。则根据动量矩定理，(4—64)式减(4—65)式等于外力矩：
M'0??Q?v2r2cos?2?v1r1cos?1???Q?vt2r2?vt1r1? (4—69)
根据作用反作用原理，叶片上获得流体所给的作用力矩力
M0??Q?V1r1cos?1?V2r2cos?2???Q?Vt1r1?Vt2r2? （4—70）
这就是欧拉涡轮方程式，是涡轮机械的基本方程式。叶轮所获得的功率为
P?M0???Q?v1ve1cos?1?v1ve2cos?2???Q?vt1ve1?vt2ve2? （4—71）
?当流出叶片槽道的绝对速度V2的方向取半径方向，即??90时，则叶轮获得的力矩公式变
为：
M0??QV1r1cos?1??QVt1r1 （4—72）
相应地，叶轮所获得的功率公式为
P??QV1Ve1cos?1??QVt1Ve1 （4—73）
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