度：z是位置高度，
p?测压管高度。见表4—1。
表4—1 能量方程意义表 项 目 z 单位位能 物理意义 或比位能 流体意义 几何意义 位置水头 位置高度 或比压能 压强水头 测压管高度 或比势能 测压管水头 势能高度 或比动能 流速水头 总比能 总水头 p? z??p 单位势能 u22g z?u2?+2g p单位压能 单位动能 单位总能量 [例4—2] 应用毕托(Pito.H.)管测量点流速前文指出，流速水头可直接量测，现以均匀管流为例加以说明。设均匀管流，欲量测过流断面上某点A的流速(图4—3)。
解：在该点放置一根两端开口，前端弯转90°的细管，使前端管口正对来流方向，另一端垂直向上，此管称为测速管。来流在A点受测速管的阻滞速度为零，动能全部转化为压能。测速管中液面升高
P'?。
另在A点上游的同一流线取距很近的O点，因这两点相距很近，O点的压强p实际上等于放置测速管以前A点的压强，应用理想流体元流伯努利方程：
图4—3点流速的测量
u2p'?? （4—25） ?2g?pu2p'p???h0 （4—26） 2g??式中0点的压强水头，由另—根测压管量测，于是测速管和测压管中液面的高度差h0,就是A点的流速水头,该点的流速： u?2gp'?p??2gh0 （4—27）
根据上述原理，将测速管和测压管组合成测量点流速的仪器，图4—4所示，与迎流孔(测速孔)相通的是测速管，与侧面顺流孔（测压孔或环形窄缝）相通的是测压管。考虑到粘性流体从迎流孔至顺流孔存在粘性效应，以及毕托管构造对原流场的干扰等影响，引用修正系数C：
图4—4毕托管构造
u?C2gp'?p??C2gh0 （4—28）
式中C是修正系数。数值接近于1.0，由实验测定。
【例4-3】 有一贮水装置如图（4—5）所示，贮水池足够大，当阀门关闭时，压强计读数为2.8个大气压强。而当将阀门全开，水从管中流出时，压强计读数是0.6个大气压强，试求当水管直径d=12cm时，通过出口的体积流量(不计流动损失)。
图4—5
50
【解】 当阀门全开时列1—l、2—2截面的伯努利方程：
H?0?0?0?0.6pa?2v2?2g
当阀门关闭时，根据压强计的读数，应用流体静力学基本方程?H?2.8pa，求出Ｈ值：
H?2.8pa??2.8?98060?28?mH2O?，代入到上式得：
9806?0.6?98060??（m/s） ???2?9.806??2.8?9806??20.78???0.6pa?v2?2g?H????所以管内流量：qV??4d2v2?0.785?20.78?0.235m3/s??
三、粘性流体元流的伯努利方程
实际流体具有粘性，运动时产生流动阻力，克服阻力作功，使流体的一部分机械能不可逆地转化为热能而散失。因此，粘性流体流动时，单位重量流体具有的机械能沿程减少，总水头线沿程下降。
自19世纪30年代以来，人们从大量经验事实中，总结出一个重要结论。能量可以从一种形式转换成另一种形式，既不能创造、也不能消灭，总能量是恒定的，这就是能量守恒原理。因此，设hw'为粘性流体元流单位重量流体由过流断面1—1运动至过流断面2—2的机械能损失，称为元流的水头损失，根据能量守恒原理，便可得到粘性流体元流的伯努利方程：
z1?
p1??2u12g=z2?p2??2u22g' （4—29） ?hw第三节 恒定总流的伯努利方程
上一节得到了粘性流体元流的伯努利方程式(4— 29)，为了解决实际问题，还需要将其推广到总流中去。 一、渐变流及其性质
在推导总流的伯努利方程之前，作为方程的导出条 件，将流动区分为渐变流和急变流。凡质点的迁移加速 度(位变加速度)很小，(u??)u?0的流动，或者说流线
图4—7急变流和渐变流
近于平行直线的流动定义为渐变流，否则是急变流(图4—7)。
显然，渐变流是均匀流的宽延，所以均匀流的性质，对于渐变流都近似成立，主要是： 1．渐变流的过流断面近于平面，面上各点的速度方向近于平行； 2．恒定渐变流过流断面上的动压强按静压强的规律分布，即：
z??p=C （4—30）
由定义可知，渐变流没有准确的界定标准，流动是否按均匀流处理，以所得结果能否满足工程要求的精度而定。 二、恒定总流的伯努利方程
51
1. 伯努利方程的推导
设恒定总流，过流断面1—1、2—2为渐变流断面，面积为A1,A2(图4—8)。在总流内任取元流，过流断面的微元面积、位置高度、压强及流速分别为dA,z1,p1,u1;dA2,z2,p2,u2。 1由元流的伯努利方程：
图4—8 总流的伯努利方程
z1?p1??2u12g=z2?p2??2u22g?h
'w以?dQ??u1dA1??u2dA2乘上式即是单位时间通过元流两过流断面的能量关系得： z1??p1??2u12g??dQ=?z2?p2??2u22g??dQ+?h'w?dQ （4—31）
总流是由无数元流构成的，上式对总流过流断面积分，便得到单位时间通过总流两过流断面的总能量关系：
A1??z1?p1???udA+?112u12gA1?u1dA1=??z2?A2p2???udA+?222u22gA2'?dQ （4—32） ?u2dA2+?hwQ分别确定三种类型的积分 ①．第一类积分：
??z???udA
p?A因所取过流断面是渐变流断面
z??p?c，则：
）?Q (4—33)
??z???udA=（z?pp??A②．第二类积分：
?u22g?udA
A各点的速度不同，引入校正系数?，积分按断面平均速度v计算：
?u22gAuv=? (4—34) ?udA=?2g?dA2g?QA32式中：?——流速分布不均匀动能校正系数，???2g?dA?udAAu33?v3?dA2g=
Av3A，是为校正以断面平均速度计算的动能与
A实际功能的差异而引入的校正系数， 匀的流动，???1.05～1.10，它取决于过流断面上的流速分布情况，分布较均
?1.05～1.10，通常取?＝1。
Q③第三类积分：hw?dQ
积分式hw?dQ单位时间总流由1—1至2—2的械能损失。现在定义hw'为总流单位重量
Q?'?'流体由1—1至2—2断面的平均机械能损失，称总流的水头损失
'hw??dQ=hw?Q (4—35)
Q 52
将(4—33)、(4—34)、(4—35)代人式(4—32)，得：
（z1?p1?）?Q+
2?v12g?Q=（z2?p2?）?Q+
?v222g?Q+hw?Q (4—36)
两断面间无分流及汇流，Q1?Q2?Q，并除以?Q，上式得： z1?p1?+
?1v122g=z2?p2?+
?2v222g+hw （4—37）
2. 伯努利方程的适用条件
式(4—37)即粘性流体总流的伯努利方程。将元流的伯努利方程推广为总流的伯努利方程，引入了某些限制条件，也就是总流伯努利方程的适用条件包括：
⑴.不可压缩流体恒定流； ⑵.质量力只有重力；
⑶.不可压缩流体(以上引自粘性流体元流的伯努利方程)； ⑷.所取过流断面为渐变流断面； ⑸.两断面间无分流和汇流； ⑹.两断面间无能量的输入或支出； ⑺.不存在相对运动。 3. 伯努利方程的方法步骤
式(4—36)是能量守恒原理的总流表达式。下面举例说明伯努利方程的应用。
⑴.断面选择 通常选择未知量所在的断面和已知量最多的断面，它们都必须是渐变流断面；
⑵.代表点选择 无压流一般选择自由液面，有压流一般选在管道中心；
⑶.位置基准面选择 习惯选择在过各代表点最低者的水平面。位置准面选择对结果无影响；
⑷.压强基准面选择 液体一般选取相对压强；气体一般选取绝对压强。压强准面选择对结果无影响；
⑸.列伯努利方程 对于初学者，应该分项列出，对于零也应该写出。但一般只用符号代替，而不代入具体数值，以便推导出未知量的计算公式；
⑹.解伯努利方程 求解出题目中所要求的未知量； ⑺.给出答案 给出正确的答案。
[例4—4] 用直径d＝100mm的水管从水箱引水(图4—9)。水箱水面与管道出口断面中心的高差H＝4m保持恒定，水头损失hw＝3m水柱。试求管道的流量。 解:断面选择1—1和2—2以及位置基准面的选择如图所示，1—1和2—2的代表点分别选择在自由液面处和管道出口中心，按相对压强计算，列伯努利方程得：
H?0?0=0?0+
取??v22g+hw
?1.0得：v?2g(H?hw)?4.43m/s
图4—9管道出流
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Q??d24v?0.035m3/s
3m答：管道的流量0.035/s
四、伯努利方程应用的修正
伯努利方程是古典水动力学应用最广的基本方程。应用伯努利方程要重视方程的应用条件，切忌不顾应用条件，随意套用公式，要对实际问题做具体分析，灵活运用。下面结合三种情况加以讨论。
1.气体的伯努利方程
总流的伯努利方程式(4—36)是对不可压缩流体导出的，气体是可压缩流体，但是对流速不很大(v＜60m／s)，压强变化不大的系统，如工业通风管道、烟道等，气流在运动过程中密度的变化很小，在这样的条件下，伯努利方程仍可用于气流。由于气流的密度同外部空气的密度是相同的数量级，在用相对压强进行计算时，需要考虑外部大气压在不同高度的差值。
设恒定气流(图4—10)、气流的密度为?外部空气的密度为?a，过流断面上计算点的绝对压强P1abs,P2abs。
列1—1和2—2断面的伯努利方程式： z1?p1图4—10恒定气流
?+
2v12g=z2?p2?+2g+hwv22，
?1??2?1 （4—38）
2?v2进行气流计算，通常把上式表示为压强的形式
?z1?p1abs??v122??z2?p2abs?2?pw
（4—39）
压强损失 pw??hw
（4—40）
将式(4—39)中的压强用相对压强p1,p2表示，则：
p1abs?p1?pa （4—41） p2abs?p2?pa??a?z2?z1? （4—42）式中入pa为z1处的大气压，pa??a?z2?z1?为高程z2处的大气压，代人式(4—37)，整理得：
p1?式中：
2?v12v2 ???a????z2?z1??p2??2?pw （4—43）
2p1,p2称为静压；
2?v12?v22,2称为动压，静压与动压之和称为全压。
??a???g为单位体积气体所受有效浮力，?z2?z1?为气体沿浮力方向升高的距离，乘积??a???g?z2?z1?为1—1断面相对于2—2断面单位体积气体的位能，称为位压。
式（4—43）就是以相对压强计算的气流伯努利方程。
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