九年级数学
人教新版九年级上学期《22.3 实际问题与二次函数》2018
年同步练习组卷
参考答案与试题解析
一．解答题（共15小题）
1．某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．
（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；
（2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？
（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．
【分析】（1）根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点（8，0），求出a值，此题得解；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当y=1.8时x的值，由此即可得出结论；
（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出抛物线与y轴的交点坐标，由抛物线的形状不变可设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=﹣x2+bx+
，代入点（16，0）可求出b值，再利用配方法将二次函数表达
式变形为顶点式，即可得出结论．
【解答】解：（1）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=a（x
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﹣3）2+5（a≠0），
将（8，0）代入y=a（x﹣3）2+5，得：25a+5=0， 解得：a=﹣，
∴水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=﹣（x﹣3）2+5（0＜x＜8）．
（2）当y=1.8时，有﹣（x﹣3）2+5=1.8， 解得：x1=﹣1，x2=7，
∴为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内． （3）当x=0时，y=﹣（x﹣3）2+5=
．
，
设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=﹣x2+bx+∵该函数图象过点（16，0）， ∴0=﹣×162+16b+
，解得：b=3，
∴改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=﹣x2+3x+（x﹣
）2+
．
米．
=﹣
∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出当y=1.8时x的值；（3）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式．
2．如图1，某灌溉设备的喷头B高出地面1.25m，喷出的抛物线形水流在与喷头底部A的距离为1m处达到距地面最大高度2.25m，试在恰当的直角坐标系中求出与该抛物线水流对应的二次函数关系式． 学生小龙在解答图1所示的问题时，具体解答如下：
①以水流的最高点为原点，过原点的水平线为横轴，过原点的铅垂线为纵轴，建立如图
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2所示的平面直角坐标系；
②设抛物线水流对应的二次函数关系式为y=ax2；
③根据题意可得B点与x轴的距离为1m，故B点的坐标为（﹣1，1）； ④代入y=ax2得﹣1=a?1，所以a=﹣1；
⑤所以抛物线水流对应的二次函数关系式为y=﹣x2． 数学老师看了小龙的解题过程说：“小龙的解答是错误的”．
（1）请指出小龙的解答从第 ③ 步开始出现错误，错误的原因是什么？ （2）请你写出完整的正确解答过程．
【分析】（1）第③步开始出现错误，B点坐标错误；
（2）以水流的最高点为原点，过原点的水平线为横轴，过原点的铅垂线为纵轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，通过最高点和B点的坐标求得函数关系式． 【解答】解：（1）第③步开始出现错误，B点坐标错误；
（2）以水流的最高点为原点，过原点的水平线为横轴，过原点的铅垂线为纵轴，建立如图2所示的平面直角坐标系；
设抛物线水流对应的二次函数关系式为y=ax2；
根据题意可得B点与x轴的距离为1m，故B点的坐标为（﹣1，﹣1）； 代入y=ax2得﹣1=a?（﹣1）2，所以a=﹣1； 所以抛物线水流对应的二次函数关系式为y=﹣x2．
【点评】本题考查了同学们根据函数图象求函数关系式的能力．
3．如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间x（单位：s）之间具有函数关系y=﹣5x2+20x，请根据要求解答下列问题：
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（1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是多少？ （2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？ （3）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？
【分析】（1）根据题目中的函数解析式，令y=15即可解答本题； （2）令y=0，代入题目中的函数解析式即可解答本题； （3）将题目中的函数解析式化为顶点式即可解答本题． 【解答】解：（1）当y=15时， 15=﹣5x2+20x， 解得，x1=1，x2=3，
答：在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是1s或3s； （2）当y=0时， 0═﹣5x2+20x， 解得，x1=0，x2=4， ∵4﹣0=4，
∴在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4s； （3）y=﹣5x2+20x=﹣5（x﹣2）2+20， ∴当x=2时，y取得最大值，此时，y=20，
答：在飞行过程中，小球飞行高度第2s时最大，最大高度是20m．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
4．在体育测试时，九年级的一名高个男同学推铅球，已知铅球所经过的路径是某个二次函数图象的一部分（如图所示）．如果这个男同学出手处A点的坐标是（0，2），铅球路线的最高处B点的坐标是（6，5）．求这个二次函数的解析式．
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【分析】由于顶点为（6，5），所以设抛物线解析式为y=a（x﹣6）2+5，代入A（0，2）求出a的值即可求出抛物线的解析式． 【解答】解：如图所示．A（0，2），B（6，5）． 设抛物线解析式为y=a（x﹣6）2+5（a≠0）， ∵A（0，2）在抛物线上， ∴代入得a=﹣
，
（x﹣6）2+5．
∴抛物线的解析式为y=﹣
【点评】本题考查的是二次函数的应用，熟知利用待定系数法求二次函数的解析式是解答此题的关键．
5．一般地，一个足球从地面上向上踢出后到落回地面，其经过的路径近似抛物线，若一个足球从地面上向上踢出后经过4s落到地面，已知第2秒时，足球达到最高点，此时距离地面19.6m，试求足球距离地面的高度y（m）关于时间x（s）的函数关系式．
【分析】根据题意，设足球距离地面的高度y关于时间x的函数关系式为y=a（x﹣2）2+19.6，将x=4、y=0代入求得a的值即可．
【解答】解：根据题意，设足球距离地面的高度y关于时间x的函数关系式为y=a（x﹣2）2+19.6，
将x=4、y=0代入，得：4a+19.6=0， 解得：a=﹣4.9，
∴足球距离地面的高度y关于时间x的函数关系式为y=﹣4.9（x﹣2）2+19.6．
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