目 录
摘要 .................................................................................................... 1 1引 言.............................................................................................. 2 2 常微分方程的发展概况................................................................... 2 3 数学建模简介 ................................................................................. 3 4 常微分方程和数学建模结合的特点 ................................................ 3 5 常微分方程在数学建模中的应用.......................... 3 5.1 建立微分方程的方法 ................................. 4 5.2市场价格模型 ....................................... 5 5.3广告模型 ........................................... 7 5.4人口预测模型 ....................................... 9 5.5混合溶液的数学模型 ................................ 11 5.6振动模型 .......................................... 12 5.7教育问题模型 ...................................... 16 6 总 结 ....................................... 19 参考文献 ............................................. 20
常微分方程在数学建模中的应用
摘要
常微分方程是在17世纪伴随着微积分而发展起来的一门具有重要应用价值的学科.它是研究连续量变化规律的重要工具，是众多实际问题与数学之间联系的重要桥梁.在历史上，牛顿正是通过求解常微分方程证实了地球绕太阳运动的轨道是椭圆；天文学家通过常微分方程的计算，预见了海王星的存在.随着工业化的进展，常微分方程在航海、航空工业生产以及自然科学的研究中发挥了重要作用.计算机和计算技术的发展,使微分方程的求解突破了经典方法的局限,迈向数值计算和图像模拟,这为微分方程的应用提供了更为广阔的天地和有效手段,也使得建立数学模型显得尤为重要.本文主要从市场价格模型、广告模型、人口预测模型、混合溶液的数学模型、教育问题模型来论述常微分方程在数学建模中的应用。
关键字：常微分方程；数学建模；市场价格模型；广告模型；人口预测模型；混合溶液的
数学模型；教育问题模型
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1引 言
在初等数学中，方程有很多种，比如线性方程、指数方程、对数方程、三角方程等，然而并不能解决所有的实际问题。要研究实际问题就要寻求满足某些条件的一个或几个未知数方程。这类问题的基本思想和初等数学的解方程思想有着许多的相似之处，但是在方程的形式、求解的具体方法、求出解的性质等方面依然存在很多不同的地方，为了解决这类问题，从而产生了微分方程。
常微分方程是许多理工科专业需要开设的基础课程，常微分方程与微积分是同时产生的，一开始就成为人类认识世界和改造世界的有力工具，随着生产实践和科学技术的发展，该学科已经演变发展为数学学科理论中理论联系实际的一个重要分支。随着数学建模活动的日益活跃，利用微分方程建立数学模型，成为解决实际问题不可或缺的方法与工具。
数学模型是对于现实世界的一个特定对象，一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构.简单地说：就是系统的某种特征的本质的数学表达式（或是用数学术语对部分现实世界的描述），即用数学式子（如函数、图形、代数方程、微分方程、积分方程、差分方程等）来描述（表述、模拟）所研究的客观对象或系统在某一方面的存在规律。
数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种实践。即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后，将实际问题用数学方式表达，建立起数学模型，然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解。简而言之,建立数学模型的这个过程就称为数学建模。
微分方程是一门独立的数学学科，有完整的数学体系，微分方程是数学联系实际，并应用实际的重要桥梁，是各个学科进行科学研究的强有力工具。一般来说，微分方程就是联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数或微分的关系式.如果其中未知函数是一元函数，则称为常微分方程。
微分方程模型通常运用的是所谓平衡原理，即物资在某段时间的变化量与其在这段时间累增加和减少的差处于平衡状态，如物理中的动量、能量守衡。在代数上我们列方程也常用这种平衡关系列方程式。在数学建模中，这种思想也广泛应用。
2 常微分方程的发展概况
17世纪，常微分方程与微积分相伴而生，微积分是她的母体，生产生活实践是她生命的源泉。至18世纪上半叶，人们的目光主要放在常微分方程的“求解”上，常微分方程处于实域解析理论阶段.工业革命带来的数学繁荣促进了常微分方程的成长，先探讨解的存在与唯一性而不是一味求解。奇点理论，边值解，形式级数解、自守函数论先后出现，使常微分方程成长为一个数学分支，步入了复域解析阶段。从19世纪后半叶开始，不解方程而确定解的性质的定性理论开始建立，数学思想方法再次实现了大的进步，朝着解析方法、几何方法、数值方法3个主要方向扩展.随着伯克霍夫(美)提出拓扑动力系统(1927年)，将一般定性理论进行了抽象和升华，逐渐发展成微分动力系统.300 多 年 来，常徽分方程
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诞生于数学与自然科学进行崭新结合的16、17世纪，成长于生产实践和数学的发展进程，表现出强大的生命力和活力，蕴涵着丰富的数学思想方法。
3 数学建模简介
对复杂现象进行分析,用数学语言来描述其中的关系或规律,抽象出恰当的数学关系,并将其实际问题转化成为一个数学问题,同时运用数学系统的知识方法对数学问题进行求解,对现实问题作出解释的过程,这就是数学建模与数学不同,构建数学模型的过程不仅要对复杂的问题进行提炼、归纳和总结而且还应进行演绎推理。所以构建数学模型的过程也是一个演绎推理与归纳总结相结合的过程。对现实问题的观察、假设、归纳,怎样将其化为一个数学问题是数学建模的关键。但这仅仅是数学建模的开始,完整的数学建模过程还应求解数学问题并能得到所要求的解。同时还应看到得出的解是否与数据或实际经验相吻合,是否能解释实际问题;否则,还应重新修正。
4 常微分方程和数学建模结合的特点
数学建模也是一个分析问题、解决问题的创造性思维过程，它的内容来自于实践、结果应用于实践、方法结合于实践，因此要选准切人点，才能有机地结合常微分方程的内容，充分体现数学建模的思想意图。应用微分方程理论在实际解决问题的过程中建立的数学模型，一般是动态数学模型，其结果极其简明，但整个推导过程却有点繁杂，不过还是能给人们以合理的解释。有机地将数学建模与常微分方程结合，必定能使常微分方程在实际应用过程中发挥更多更好的作用，以便能解决更多的实际问题，产生更好效益。
5 常微分方程在数学建模中的应用
模型化是通过研究模型来揭示原型形态、本质、特征的科学思维方法。它可以有目的地集中研究认识对象的主要结构和关系，抓住事物中的主要矛盾以及矛盾的主要方面，具有科学性和极强的可重复操作性，同时，模型化也是实践决定认识的一次飞跃过程。常微分方程自诞生之初，就是模型化的产物，尤其在实域解析理论阶段表现得特别充分。常微分方程早期多研究机械、电学系统，之后逐渐加强与其它学科的渗透支援，理论开始丰富和深化即使是20世纪30年代，蓬勃发展的无线电技术中的孤立等幅振荡，也极大她促进了极限环的研究。丰富了常微分方程的理论.时至今日:放射性元素的衰变模型、人口乃至生态系统的模型、医学方面的传染病模型、气象学中的洛仑兹模型、军事方面的军备竞赛湘作战模型等，给我们展示了常微分方程模型化的壮阔画卷.随着常微分方程的不断发展，常微分方程模型也逐渐现代化，在确定连续模型的基础上，从静态优化的微分法模型向动态模型、平衡与稳定状态模型及动态优化模型发展，对于复杂的实际问题,要建立一个较准确的描述它的状态的微分方程是件很困难的事,因为它不仅涉及到多种数学概念与方法,而且还涉及到该问题所属的实际学科的许多知识,
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有时甚至还要靠实验的帮助,才能建立起较能反映实际、而在数学上又有可能处理的方程来。但我们这里谈的是建立一阶常微分方程,难度自然就大大降低了(有的还是要在某些理想化的条件下) 。然而,对于初学者来说,要顺利、准确地列出方程还是有个学习与摸索的过程。为叙述上的方便,我们把实际问题粗略地分为几何学问题和其它学科问题两大类。对前者,我们建立方程时要求熟练地掌握导数、微分的几何意义,以及在分析学中熟知用导数、微分来表达许多其它几何概念,它们之间的关系式等;对后者,首先要求我们掌握导数是各种意义下的瞬时变化率这一物理意义,然后把这个概念用到该问题所属学科的某种相关联的定律中去,以列出我们所要的方程来。
应用微分方程解决实际问题,一般有三个步骤: (1) 建立微分方程;
(2) 求解微分方程(或由方程讨论解的性质) ;
(3) 由所得的解或解的性质,反过来解释该实际问题。 这里介绍几个典型的用微分方程建立数学模型的例子.
5.1 建立微分方程的方法
微分方程是现代数学的一个重要分支，是研究函数变化规律的有力工具，它在科技、工程、经济管理、生态、环境、人口、交通等各个领域中有着广泛的应用。在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系较为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较为容易时，可用建立微分方程模型的方法来研究该问题。建立微分方程的方法有多种，例如：
设位于坐标原点的甲舰向位于x轴上的点A(1,0)处的乙舰发射导弹，导弹始终对准乙舰。如果乙舰以最大的速度?0(?0是常数)沿平行于y轴的直线行驶，导弹的速度是5?0，求导弹运行的曲线。又乙舰行驶多远时，导弹将它击中？
解 设导弹的轨迹曲线为y?y(x)，并设经过时间t，导弹位于点P(x,y)，乙舰位于点Q(1,?0t)。由于导弹始终对准乙舰。故此时直线PQ就是导弹的运动轨迹曲线OP在点P处的切线，即有
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又根据题意，弧OP的长度为AQ的5倍，即
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