2逻辑Logistic模型
马尔萨斯模型为什么不能预测未来的人口呢？这主要是地球上的各种资源只能供一定数量的人生活,随着人口的增加,自然资源环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著,如果当人口较少时,人口的自然增长率可以看作常数的话,那么当人口增加到一定数量以后,这个增长率就要随人口的增加而减小.因此,应对马尔萨斯模型中关于净增长率为常数的假设进行修改.
1838年,荷兰生物数学家韦尔侯斯特(Verhulst)引入常数Nm,用来表示自然环境条件所能容许的最大人口数（一般说来,一个国家工业化程度越高,它的生活空间就越大,食物就越多,从而Nm就越大）,并假设将增长率等于r??1???N(t)??,Nm??即净增长率随着N(t)的增加而减小,当N(t)?Nm时,净增长率趋于零,按此假定建立人口预测模型.
解 由韦尔侯斯特假定,马尔萨斯模型应改为
?dN?N???N，?r?1?? ?dtN0????N(t)?N，00?上式就是逻辑模型,该方程可分离变量,其解为,
N(t)?Nm?Nm??r(t?t0)?e1???1?N??0?.
下面,我们对模型作一简要分析.
（1）当t??,N(t)?Nm,即无论人口的初值如何,人口总数趋向于极限值
Nm；
（2）当0?N?Nm时,增函数；
（3）由于
Nm2dNdt22dN?N??N?0,这说明N(t)是时间t的单调递?r?1??dtNm????N??2N???1??r?1??Nm?Nm???22?NmdNdN?N,所以当N??0时,,单2?dt2dt?增；当N?时,
dNdt22?0,
dNdt单减,即人口增长率
dNdt由增变减,在
Nm2处最大,
也就是说在人口总数达到极限值一半以前是加速生长期,过这一点后,生长的速
率逐渐变小,并且迟早会达到零,这是减速生长期；
（4）用该模型检验美国从1790年到1950年的人口,发现模型计算的结果与实际人口在1930年以前都非常吻合,自从1930年以后,误差愈来愈大,一个明
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显的原因是在20世纪60年代美国的实际人口数已经突破了20世纪初所设的极限人口.由此可见该模型的缺点之一是Nm不易确定,事实上,随着一个国家经济的腾飞,它所拥有的食物就越丰富, Nm的值也就越大；
(5）用逻辑模型来预测世界未来人口总数.某生物学家估计,r?0.029,又当人口总数为3.06?109时,人口每年以2%的速率增长,由逻辑模型得
?N??, ?r?1??NdtNm???1dN??, ??9?3.06?10即 0.02?0.029??1?Nm?从而得 Nm?9.86?109,
即世界人口总数极限值近100亿.
值得说明的是：人也是一种生物,因此,上面关于人口模型的讨论,原则上也可以用于在自然环境下单一物种生存着的其他生物,如森林中的树木、池塘中的鱼等,逻辑模型有着广泛的应用.
5.5混合溶液的数学模型
设一容器内原有100L盐,内含有盐10kg,现以3L/min的速度注入质量浓度为0.01kg/L的淡盐水,同时以2L/min的速度抽出混合均匀的盐水,求容器内盐量变化的数学模型.
设t时刻容器内的盐量为x(t)kg,考虑t到t?dt时间内容器中盐的变化情况,在dt时间内
容器中盐的改变量?注入的盐水中所含盐量－抽出的盐水中所含盐量 容器内盐的改变量为dx,注入的盐水中所含盐量为0.01?3dt,t时刻容器内溶液的质量浓度为
x(t)100?(3?2)t,假设t到t?dt时间内容器内溶液的质量浓度不
变（事实上,容器内的溶液质量浓度时刻在变,由于dt时间很短,可以这样看）.于是抽出的盐水中所含盐量为
x(t)100?(3?2)t2dt,这样即可列出方程
2x100?t2x100?tdx?0.03dt?dt,
即
dxdt?0.03?.
又因为t?0时,容器内有盐10kg,于是得该问题的数学模型为
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2x?dx??dt100?t?0.03，? ???x(0)?10,?这是一阶非齐次线性方程的初值问题,其解为
x(t)?0.01(100?t)?9?1042(100?t).
下面对该问题进行一下简单的讨论,由上式不难发现:t时刻容器内溶液的质
量浓度为
p(t)?x(t)100?t?0.01?9?1043(100?t),
且当t???时,p(t)?0.01,即长时间地进行上述稀释过程,容器内盐水的质量浓度将趋于注入溶液的质量浓度.
溶液混合问题的更一般的提法是：设有一容器装有某种质量浓度的溶液,以流量V1注入质量浓度为C1的溶液 （指同一种类溶液,只是质量浓度不同）,假定溶液立即被搅匀,并以V2的流量流出这种混合溶液,试建立容器中质量浓度与时间的数学模型.
首先设容器中溶质的质量为x(t),原来的初始质量为x0 ,t =0时溶液的体积为V2,在dt时间内,容器内溶质的改变量等于流入溶质的数量减去流出溶质的数量,即
dx?C1V1dt?C2V2dt,
其中C1是流入溶液的质量浓度, C2为t时刻容器中溶液的质量浓度,C2?xV0?(V1?V2)t，于是,有混合溶液的数学模型
?dx?C1V1?C2V2，? ?dt?x(0)?x0．?该模型不仅适用于液体的混合,而且还适用于讨论气体的混合.
5.6振动模型
振动是生活与工程中的常见现象.研究振动规律有着极其重要的意义.在自
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然界中,许多振动现象都可以抽象为下述振动问题.
设有一个弹簧,它的上端固定,下端挂一个质量为m的物体,试研究其振动规律.
假设（1）物体的平衡位置位于坐标原点,并取x轴的正向铅直向下（见图4）.物体的平衡位置指物体处于静止状态时的位置.此时,作用在物体上的重力与弹性力大小相等,方向相反；（2）在一定的初始位移x0及初始速度v0下,物体离开平衡位置,并在平衡位置附近作没有摇摆的上下振动；（3）物体在t时刻的位置坐标为x?x(t),即t时刻物体偏离平衡位置的位移；（4）在振动过程中,受阻力作用.阻力的大小与物体速度成正比,阻力的方向总是与速度方向相反,因此阻力为
?hdxdt,h为阻尼系数；（5）当质点有位移x(t)时,假设所受的弹簧恢复力是与位
移成正比的,而恢复力的方向总是指向平衡位置,也就是总与偏离平衡位置的位移方向相反,因此所受弹簧恢复力为?kx,其中k为劲度系数；（6）在振动过程中受外力f(t)的作用.在上述假设下,根据牛顿第二定律得
dxdt22m??hdxdt ?kx?f(x) , ①
这就是该物体的强迫振动方程.
由于方程①中, f(t)的具体形式没有给出,所以,不能对式 ①直接求解.下面我们分四种情形对其进行讨论. 1 无阻尼自由振动
在这种情况下,假定物体在振动过程中,既无阻力、又不受外力 作用.此时方程①变为
令
km??2Ox mdxdt22?kx?0 ,
图4
,方程变为
dxdt22 特征方程为 特征根为 通解为
??x?0,
2 ?2??2?0,
?1,2??i?,
x?C1sin?t?C2cos?t,
或将其写为
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x?C21??C???22C1C21?C22sin?t?CC221?C22?cos?t???
?A?cos?sin?t?sin?cos?t?
?Asin(?t??) ，?CC221其中 A?C12?C22,sin?,cos??22C1C21?C?C22.
这就是说,无阻尼自由振动的振幅A?C1?C222,频率??km均为常数.
2有阻尼自由振动
在该种情况下,考虑物体所受到的阻力,不考虑物体所受的外力.此时,方程①变为
mkmhmdxdt22?hdxdt?kx?0,
令
??2,
?2?,方程变为
dxdt22?2?dxdt??x?0,
2特征方程为?2?2????2?0,特征根 ?1,2?????2??2.根据?与?的关系,又分为如下三种情形：
(1)大阻尼情形, ?>?.特征根为二不等实根,通解为
x?C1e(????2??2)t?C2e(????2??2)t
(2)临界阻尼情形,???.特征根为重根,通解为
x?(C1?C2t)e??t
这两种情形,由于阻尼比较大,都不发生振动.当有一初始扰动以后,质点慢慢回到平衡位置,位移随时间t的变化规律分别如图5和图6所示.
x x x0x0OtOt
图5 图6
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