代入初值条件y(0)?0,y'(0)?0，解得
5845y??(1?x)?5126(1?x)?5524
所以，导弹的运动轨迹如下图1所示：
图1
由上图可知，当x?1,y?524时，即当乙舰航行到点(1,524)处时被导弹击中，被击中的时间为t?y?0?524?0。
对于建立微分方程的方法，除了以上例子所举出的利用运用已知规律的方法外，还有微元法、机理分析法（模拟近似法）等。
5.2市场价格模型
对于纯粹的市场经济来说,商品市场价格取决于市场供需之间的关系,市场价格能促使商品的供给与需求相等(这样的价格称为(静态)均衡价格).也就是说,如果不考虑商品价格形成的动态过程,那么商品的市场价格应能保证市场的供需平衡,但是,实际的市场价格不会恰好等于均衡价格,而且价格也不会是静态的,应是随时间不断变化的动态过程.
试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型
假设在某一时刻t,商品的价格为p(t),它与该商品的均衡价格间有差别,此时,存在供需差,此供需差促使价格变动.对新的价格,又有新的供需差,如此不断调节,就构成市场价格形成的动态过程,假设价格p(t)的变化率
dpdt与需求和供给
之差成正比,并记f(p,r)为需求函数,g(p)为供给函数（r为参数）,于是
?dp????f?p,r??g?p??， ?dt?p(0)?p0，? 5
其中p0为商品在t?0时刻的价格,?为正常数.
若设f(p,r)??ap?b,g(p)?cp?d,则上式变为
?dp????(a?c)p??(b?d) ?dt?p(0)?p0，?， ①
其中a,b,c,d均为正常数,其解为
p(t)??p0???b?d???(a?c)tb?d??ea?c?a?c.
下面对所得结果进行讨论:
（1）设p为静态均衡价格 ,则其应满足
f(p,r)?g(p)?0,
即 于是得p?b?da?c?ap?b?cp?d,
,从而价格函数p(t)可写为
p(t)?(p0?p)e??(a?c)t?p , 令t???,取极限得
t???limp(t)?p
这说明,市场价格逐步趋于均衡价格.又若初始价格p0?p,则动态价格就维持在均衡价格p上,整个动态过程就化为静态过程；
（2）由于
dpdtdpdt?(p?p0)?(a?c)e??(a?c)t ,
dpdt?0所以,当p0?p时,
?0,p(t)单调下降向p靠拢；当p0?p时,
,p(t)单调增加向p靠拢.这说明：初始价格高于均衡价格时,动态价格就要逐步降低,且逐步靠近均衡价格;否则,动态价格就要逐步升高.因此,式①在一定程度上反
映了价格影响需求与供给,而需求与供给反过来又影响价格的动态过程,并指出了动态价格逐步向均衡价格靠拢的变化趋势.
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5.3广告模型
在商品销售中，很少有像上例中讲的仅靠商品自身做广告，而是要靠各种媒体大肆宣传。虽然说“只要是美的，人人喜欢”，“酒香不怕巷子深”，但是人们已越来越认识到广告的作用。本模型就从数学角度探讨广告与销售量的关系，并指出广告在商品的不同销售阶段的差异。
无论你是听广播，还是看报纸，或是收看电视，常可看到、听到商品广告。随着社会向现代化的发展，商品广告对企业生产所起的作用越来越得到社会的承认和人们的重视。商品广告确实是调整商品销售量的强有力手段，然而，你是否了解广告与销售之间的内在联系？如何评价不同时期的广告效果？这个问题对于生产企业、对于那些为推销商品作广告的企业极为重要。下面我们介绍独家销售的广告模型。 我们假设：
1.商品的销售速度会因作广告而增加，但这种增加是有一定限度的，当商品在市场上趋于饱和时，销售速度将趋于它的极限值，当速度达到它的极限值时，无论再作何种形式的广告，销售速度都将减慢。
2.自然衰减是销售速度的一种性质，即商品销售速度随商品的销售率增加而减小。
3.令s(t)表示t时刻商品销售速度；A(t)表示t时刻广告水平（以费用表示）；M为销售的饱和水平，即市场对商品的最大容纳能力，它表示销售速度的上极限；
?为衰减因子，即广告作用随时间增加而自然衰减的速度，??0为常数。 问题中涉及的是商品销售速度随时间的变化情况：
商品销售速度的变化=增长-自然衰减。
为描述商品销售速度的增长，由模型假设1知商品销售速度的净增长率应
该是商品销售速度s(t)的减函数r(s)，并且存在一个饱和水平M，使得
r(M)?0。
为简单起见，我们设r(s)为s(t)的线性减函数，则有
r(s)?P?(1?s(t)M)，
其中用P表示响应系数，即广告水平A(t)对商品销售速度s(t)的影响能力，P为常数。
因此可建立如下微分方程模型：
dsdt?P?(1?s(t)M)?A(t)??s(t)。
从模型方程可知，当s?M或A(t)?0时，都有
ds
dt???s。
为求解该模型，我们选择一个广告策略
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?A(常量) 0?t??A(t)???0 t??。
（0，?）在时间段内，用于广告的总费用为a，则
dsdt?(??PM?a?)?s?P?aA?a?，代入模型方程有
?。
令
??PM?a??b，
P?a??k，
则有
dsdt?bs?k。
kb。
其解为
s(t)?ce?bt?若令s(0)?s0，则
s(t)?kb(1?e?bt)?s0e?bt。
当t??时，模型为
dsdt???s， ，
其通解为
s?ce??t?(??t)而t??时s(t)?s(?)，所以s(t)?s(?)e。 故
?k?bt?bt?(1?e)?s0e 0?t??s(t)??b?s(?)e?(??t) t???。
s(t)的图形如图3-1
所示。
图2 图3
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5.4人口预测模型
由于资源的有限性,当今世界各国都注意有计划地控制人口的增长,为了得
到人口预测模型,必须首先搞清影响人口增长的因素,而影响人口增长的因素很多,如人口的自然出生率、人口的自然死亡率、人口的迁移、自然灾害、战争等诸多因素,如果一开始就把所有因素都考虑进去，则无从下手.因此,先把问题简化,建立比较粗糙的模型,再逐步修改,得到较完善的模型. 1马尔萨斯（Malthus）模型
英国人口统计学家马尔萨斯（1766—1834）在担任牧师期间,查看了教堂100多年人口出生统计资料,发现人口出生率是一个常数,于1789年在《人口原理》一书中提出了闻名于世的马尔萨斯人口模型,他的基本假设是：在人口自然增长过程中,净相对增长（出生率与死亡率之差）是常数,即单位时间内人口的增长量与人口成正比,比例系数设为r,在此假设下,推导并求解人口随时间变化的数学模型.
解 设时刻t的人口为N(t),把N(t)当作连续、可微函数处理（因人口总数很大,可近似地这样处理,此乃离散变量连续化处理）,据马尔萨斯的假设,在t到t??t时间段内,人口的增长量为
N(t??t)?N(t)?rN(t)?t,
并设t?t0时刻的人口为N0,于是
?dN??rN， ?dt
??N(t0)?N0．这就是马尔萨斯人口模型,用分离变量法易求出其解为
N(t)?N0er(t?t0),
此式表明人口以指数规律随时间无限增长.
模型检验：据估计1961年地球上的人口总数为3.06?109,而在以后7年中,人口总数以每年2%的速度增长,这样t0?1961,N0?3.06?109 ,r?0.02,于是
N(t)?3.06?109e0.02(t?1961).
这个公式非常准确地反映了在1700—1961年间世界人口总数.因为,这期间
地球上的人口大约每35年翻一番,而上式断定34.6年增加一倍（请读者证明这一点）．
但是,后来人们以美国人口为例,用马尔萨斯模型计算结果与人口资料比较,却发现有很大的差异,尤其是在用此模型预测较遥远的未来地球人口总数时,发现更令人不可思议的问题,如按此模型计算,到2670年,地球上将有36 000亿人口.如果地球表面全是陆地（事实上,地球表面还有80%被水覆盖）,我们也只得互相踩着肩膀站成两层了,这是非常荒谬的,因此,这一模型应该修改.
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