基于空间向量的立体几何教学设计 ------空间线面关系的判定 无锡市第六高级中学 杜根华
摘要：本文利用空间向量判定空间两条直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，用直线的方向向量和平面的法向量来表述，是一个“符号化”的过程。让学生在明确方向向量和法向量含义的基础上，借助图形,自己独立“翻译”完成。为提高教学质量，笔者针对自己开的公开课进行合理的设计。教学设计必须考虑4个基本要素:教学对象、教学目标、教学策略、教学评价。为了更好地发挥教学过程的整体功能，笔者针对这4个基本要素完成对空间线面关系的判定的教学设计。在教学中，教师要加强学生的直观性、培养和提高学生的悟性、训练学生的数学思维、培养学生的数学能力、强调理解记忆。 关键词：直观性 思维论证 向量坐标法 向量几何法 1基本情况 1.1学情分析
授课班级是物化平行班，学生相对来讲，在基本功方面、思维品质方面都不是很出色，所以夯实基础是关键。在平时的教学过程中，笔者重基础、落实基本知识点、基本技能、基本方法。本节课笔者通过学生的直观感知去建构向量和转化为坐标运算，通过激发学生学习立体几何的兴趣，锻炼其思维，达到通过自己的思维进行向量之间的几何变化。 1.2教材分析
本节主要内容是空间两条直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的判定，用直线的方向向量和平面的法向量来表述，是一个“符号化”的过程。应让学生在明确方向向量和法向量含义的基础上，借助图形,自己独立“翻译”完成。本节课既对空间共面向量定理和空间向量基本定理的灵活应用，又为后面学习空间角的计算奠定了基础，在本章中起到了承上启下的作用。通过本节课的学习，可进一步认识和解决立体几何问题，更好地培养学生观察发现空间想象以及推理论证能力。
1.3设计思路
立体几何是培养学生空间想象能力最有力的工具，也是高考重要的考点，空间向量为解决立体几何问题提供了一个十分有效的工具。学习立体几何，必须通过直观感知和思辨论证这样的一个过程。本节课目的要锻炼学生通过直观判断，去建立空间直角坐标系，构建向量和转化为坐标运算。然而，当我们无法直接发现有明显垂直关系时，应将我们的认识过程推向思维论证的过程，去利用空间共面向量定理和空间向量基本定理的知识，引导学生回归向量的本质，探究用向量的几何法去解决立体几何。由于我校的生源一般，又是物化的平行班，因此，在进行本节课教学的时候做了适当的变化.在苏教版选修2-1教科书上一共有五道例题，但在一节课上是无法完成。笔者根据学生的学情，选择容易想到的，容易上手的作为例题，先通过直观感受，再通过思维论证去体会空间图形的研究方法。本节课采取老师引导、学生探究的方式进行，把学生的想法规范的在黑板上演示出来，使学生有自主探究、自主思考的意识，同时也发展了学生的几何直观感。 教学目标：
1、理解用向量语言来表述空间两条直线、直线与平面、平面与平面的位置关系；
2、掌握用向量方法判定空间线线、线面、面面的平行和垂直关系； 3、培养学生的探索精神与实践操作的能力。
教学重点：建构向量和转化坐标运算的方法去解决线线、线面、面面平行和垂直的关系。
教学难点：灵活运用向量法判定空间线线、线面、面面平行和垂直的关系。 2过程实录 2.1复习回顾
师：同学们，前面学习了几个重要的关于空间向量的概念、定理和结论，下面我们一起来回忆。
生：学生齐声回答笔者所给出的问题，增加了课堂气氛，展现出班级昂扬的斗志。
a?b?01、两个非零向量a,b，a?b的充要条件是 .
a?b?cos?2、设向量a,b的夹角为?，则a?b= . 3、共面向量定理: 如果两个向量a,b不共线，那么向量P与向量a,b共
?x,y?，使得： . p?xa?yb面的充要条件是存在有序实数组
4、空间向量基本定理: 如果三个向量e1,e2,e3不共面，那么对空间任
p?xe1?ye2?ze3一向量P，存在惟一有序实数组(x,y,z)，使 .
设计意图:这四小题起到了承上启下的作用，即对前面所学的知识
进行了回顾，也为后面解决空间立体几何图形的位置关系提供了一个十分有效的工具。 2.2知识建构 2.2.1问题情境
问题一：在数学“立体几何初步”一章中，空间线线、线面、面面的位置关系主要有哪几种关系？
师：线线关系有哪几种关系？ 生：平行、相交、垂直
师：这样的回答对吗？线线关系的判定依据是什么呢？ 生：根据是否共面来分，有共面和异面。
师：那共面当中有几种线线关系呢？它的分类依据是什么呢？ 生：根据是否有公共点来分，有平行和相交 师：那垂直为什么不是呢？ 生：垂直可以分为共面垂直也可以异面垂直。它是一种特殊情况，是相交的一种特例，也是异面中的一种的特例。
师：请同学们齐声回答下线线关系有哪三种？ 生：平行、相交、异面。 师：线面之间有哪些关系呢？ 生：相交、平行、在平面内
师：很好，证明同学们已经受到线线关系判定依据的鼓舞，掌握
情况很好，希望继续保持。
师：那面面又有哪些关系呢？ 生：平行和相交 2.2.2合作探究
问题二：同学们能不能用直线的方向向量和平面法向量来刻画空间线线、线面、面面位置关系？
师：下面，同学们分成三大组，第一组研究线线平行和垂直之间的关系？如何用直线的方向向量来刻画？第二组和第三组分别研究线线、线面、面面平行和垂直之间的关系以及如何利用直线的方向向量和法向量来刻画？最后请每组一位同学发言，展示同学们的风采。 探究成果
?1//?2?n1//n2?存在实数?，使n1??n2?1??2?n1?n2?n1?n2?0l1//?1?e1?n1?e1?n1?0l1??1?e1//n1?存在实数?，使e1??n1l1//l2?e1//e2?存在实数?，使e1??e2l1?l2?e1?e2?e1?e2?0师：根据同学们的发言，可以用直线的方向向量和平面的法向量来表述空间线线、线面、面面之间的平行和垂直关系。下面，请同学们齐声回答它们彼此之间的关系以便加深印象。
设空间两条直线l1,l2的方向向量为e1,e2，两个平面?1,?2的法向量分别为n1,n2则有
l1与l2 l1与?1 平行 ??e1//e2 ??e1?n1 垂直 ??e1?e2 ??e1//n1 ?1与?2 ??n1//n2 ??n1?n2 2.3数学应用 2.3.1师生对话
例1、如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，?ACB?900,?BAC?300
CC1的中点.求证：AM是棱 . BC?1,AA1?6, 1B?AM C1B1A1 A1B1C1 M
MC AB
ACB
试上前的图形 正式上课的图形
设计意图：试上之前的图形是课本上的原图，但根据学生的学情和学生掌握知识的能力，笔者将教科书上的图形，进行了改变，目的是为了让学生直接想到建立空间直角坐标系的方法，让学生熟悉和感知坐标系的作法，体现出直观感知的作用。
师：同学们如何将向量法应用到具体的立体几何中呢?笔者给学生