5-6分钟时间思考和解题，并观察学生的解题思路和解题规范性，有问题的指出不足，好的给予赞扬。
A1B?AM，只要证A1B?AM?0,A1B?A1A?AB, 生：要证
AM?AC?CM故只要证明(A1A?AB)?(AC?CM)?0。
师：很好。请同学们跟着老师把这位同学的思路完整的板演出来，
看看同学们写的解题格式和老师的解题格式有何区别？
笔者点出学生解题的不足,加强立体几何书写的规范性,并强调解决这道题目的关键是要善于挖掘已知的垂直关系，将未知向已知转化。这里的关键就是将A1B?A1A?AB,AM?AC?CM。在教学中，笔者注重了学生的思维，启发学生探索得到。
师：解决这道题目的关键是将这两个向量进行转化，那这种转化到底应用哪个知识点呢？
生：共面向量定理。
师：很好，它的本质是将一个向量转化为两个向量，那能不能把它转化为三个向量的线性表示呢？
生：我们可以选择以AB,AC,AA1作为基底，先将A1B和AM分别用基底线性表示，然后运用向量的数量积去证明A1B?AM?0。 师：很好。证明同学们已经把向量之间的转化，掌握的非常熟练，从二维到三维的升华。请同学们课后把刚刚这位同学的想法规范的写在自己的讲义上。
师：同学们既然能想到把一个向量转化为一个基底来表示，那么这个基底可不可以选择特殊的基底呢?同学们是不是可以通过观察图形对称性、已有的垂直关系选择特殊的基底吗？ 生：可以选择正交基底建立空间直角坐标系。分别以CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系，然后表示相应点和向量的坐标。
师：这位同学的观察能力非常强。下面老师和同学们一起按照这位同学的思路去表示A1B和AM。
笔者在书写板书时，注意三点规范性：（1）在图形中作出空间直角坐标系，并用文字语言叙述（2）准确的地拿出点的坐标（3）表示
出关键向量的坐标。
师：本题同学们用了三种方法，但本质都是一样，都是用向量的方法处理立体几何问题.我们把一二两种证法归结为向量的几何法，第三种证法归结为向量的坐标法。鼓励同学们灵活选择适合自己的方法，学习立体几何应采用直观感知、思维论证等认识过程，探索空间图形的性质和解决空间问题的方法。以后，同学们在立体几何试题中发现明显的垂直关系，就可以首先选择建立空间直角坐标系的方法，如果不能发现明显的垂直关系，而且建立空间直角坐标系要通过一定的转化证明，难度较大，那么,同学们就可以考虑向量的几何法，这样避免了建系的困难。
师：有了这样一个依据,同学们如何用向量的方法来解决线面之间的关系？
2.3.2学生板演
例2、如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面垂直，点M,N分
AE上，MN∥平面CDE. AN= AE.求证：别在对角线BD，且BM= BD，
F E
1313
N A D
M
B C
师：同学们如何证明线面平行呢？
生：寻找MN和平面CDE的法向量是否垂直？
师：那根据例1的感受，如何去表示这两个向量？ 生：建立空间直角坐标系。 师：您是如何想到的呢？
生：因为题目中出现明显的垂直关系。
师：漂亮！下面的目标就是如何去建系，如何去表示这两个向量？ 生：以AB、AD、AF所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标
系，设AB?a,AD?b,AF?c,然后拿出各个点坐标，最后拿出MN和平面CDE的法向量的坐标。
师：这位同学的思路很明确，但必须付出实践。同学们在实践过程中，会不会碰到难处理的问题呢？下面由这位同学到黑板上来板演，其他学生在将以上完成。
师：请同学们观察自己在书写的过程中有没有用到矩形ABCD和矩形ADEF所在平面垂直这个条件？是不是这个条件没有用？还是你已经在不经意间用到了呢？
生：在建立空间直角坐标系的时候用到的。
师：很好，但必须通过证明立体几何的传统方法来说明AB、AD、AF互相垂直，体现书写的完整性。 师：同学们在表示点和向量的坐标时，发现MN的坐标有点难表示，而且它的表示带有分数形式，那能不能通过改变设法从而使得MN的坐标没有分数形式呢？
生：应该假设AB?3a,AD?3b,AF?3c 师：很好。你是怎么能想到的呢？你的假设会不会影响到结论呢？ 生：因为题目中出现的字样，提示我们这样假设，而且题中AB、AD、AF的长度与要证的结论无关。
师：这位同学的回答非常精辟。选择合理的假设，将会给解题带来很大的方便之处。同学们证到了MN?AD之后，必须添加MN不在平面CDE内，加以强调。 通过直观感知的坐标法，我们再次感知本题是不是在哪里见过了呢？笔者指导学生查阅教材第75页例1，感受教材是如何应用向量的几何法来证明的，教材中把MN?DE?DC，表示MN与DE,DC共面，但在本题中MN不和平面DCE共面，所以只能MN∥平面CDE 师：用坐标运算的方法证明，目的在于让学生领会向量坐标法的思想。那么，同学们能将坐标法的思想应用在面与面的关系上吗？
1323132.3.3合作交流
例3、如图，已知正方体ABCD?A1B1C1D1中，E,F分别为BB1,CD的中点， 求证：平面DD1F?平面ADE.
D1 A1 B1
D
E
C F A B
师：请同学们同桌之间相互讨论，探讨如何用向量的知识来证明面与面的位置关系呢？
生：这个很显然嘛!AD?平面ADE。笔者当时听了一愣，这是我在备课前没有预设到，因为我将思维固定在只能用向量的方法来解题，这是本节课的重点。于是，我临场应变，跟着同学的思路，将题目适当改变。
师：恩，很好，这位同学已经很好的掌握了必修2中利用传统方法解立体几何，那同学们又如何用向量的方法去解决面与面垂直的问题呢？
生：可以去求平面DD1F和平面ADE的法向量，因为AD为平面DD1F的法向量，所以，只要求平面ADE的法向量。
师：分析的很不错，笔者当机立断立即把题目的结论做了改变，把结论变为D1F?平面ADE
生：就是要证D1F为平面ADE的法向量嘛,即证D1F?AD,D1F?AE 师：有没有其它想法呢？
生：去寻找平面ADE的法向量与D1F平行就可以。 师：完全正确！课后请同学们将刚才的思路完整的整理在讲义上。 最后，请同学们回忆下，本节课你学到了什么？你的收获的是什么？
生：本节课我学习了用向量的方法来解决立体几何。
师：很好。老师希望同学们熟练掌握这种方法，即要解决规则的图形，又要解决不规则的图形，达到孰能生巧的地步。
C1
2.4课堂小结
本节课主要研究用向量的方法解决空间线线、线面、面面关系. 2.5布置作业
教科书第94页练习1，3，5 3教学感悟
空间立体几何图形是学生在日常生活中经常见到的，通过直观感知、思维论证，用空间向量的方法，为解决空间立体几何图形的位置关系提供了一个十分有效的工具。本节课首先用直观感知的认识转化为数学符号语言，其次通过思维论证解决实际的立体几何问题，最后笔者通过多样化的师生互动方式，使同学们达到了感性和理性的完美统一，是培养学生素养、发展学生数学综合能力的好素材。具体体现在以下几个方面：
3.1选材源于教材，把握学情，加强直观性
直观性原则就是在教学中尽可能使学生从直观出发去概括数学现象的本质和规律。本节课教科书上的内容一共有5道例题，但一节课是不可能完成，那么教师必须根据学生的实际情况，选择最适合学生的例题，这样才会实现教学的高效性。笔者根据学生的学情和直观视觉的角度选择三道题，这三道题的图形从直观的角度很容易建立空间直角坐标系，很容易将学生引入用空间向量的方法来解决立体几何。所以，我们以后上每一节课都要用好教材，把握学情，对教材中的题目适当删减和变动。
3.2注重直观感知和思维论证的认识过程
本节课改变了教科书上例题1图形的方向，让学生通过直观感知很快的就能建立空间直角坐标系，体现直观性原则。例题2虽然没有改变，但是笔者注重了学生运算能力和书写能力的培养，让学生不断观察自己所写的步骤，不断去观察题目中所给出的隐含信息，先让学生去尝试，通过教师的引导，改变假设，使题目顺利解决。通过直观感知和思维论证的合理运用，学生智慧的大门将被打开。 3.3注重思维的递进性，方法的优越性
本节课在例题1的讲解过程中，笔者用了三种方法，这其中体现出思维的递进。第一种方法运用共面向量定理由一个向量被表示成两