2h2f,r?nl1?cos?
1?cos?任何一个高分子链既不可能是自由旋转链，也不可能为自由结合链。因为高分子链中单键旋转时互相牵制，一个键转动，势必带动附近一段链一起运动，故每个键不可能成为一个独立运动的单元。
等效自由结合链：将若干个键组成的一段链看作一个独立单元（称之为“链段”），则令链段与链段自由结合，并且无规则取向而形成的链。
等效自由结合链的链段分布符合高斯分布函数，它又称为“高斯链”。高斯链是确确实实存在的，它体现了大量柔性高分子的共性。它的均方末端距
h02?nele2
式中，ne为高分子链包含的链段数，le为每个链段的长度。
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第2 章 固体结构
物质通常有三种聚集状态：气态、液态和固态。按照原子（或分子）排列的特征又可将固态物质分为两大类：晶体和非晶体。
晶体中的原子在空间呈有规则的周期性重复排列；而非晶体的原子则是无规则排列的。原子排列在决定固态材料的组织和性能中起着极重要的作用。金属、陶瓷和高分子材料的一系列特性都和其原子的排列密切相关。如：具有面心立方晶体结构的金属Cu，Al等通常有优异的延展性能；密排六方晶体结构的金属如Zn，Cd等则较脆；具有线性分子链的橡胶兼有弹性好、强韧和耐磨之特点；具有三维网络分子链的热固性树脂一旦受热固化便不能再改变形状，但具有较好的耐热和耐蚀性能，硬度也比较高。因此，研究固态物质内部结构，即原子排列和分布规律是了解掌握材料性能的基础，只有这样，才能从内部找到改善和发展新材料的途径。
必须指出的是，一种物质是否以晶体或以非晶体形式出现，还须视外部环境条件和加工制备方法而定，晶态与非晶态往往是可以互相转化的。 2.1 晶体学基础
晶体结构的基本特征：原子（或分子、离子）在三维空间呈周期性重复排列，即存在长程有序。
晶体与非晶体物质在性能上区别主要有两点：①晶体熔化时具有固定的熔点，而非晶体却无固定熔点，存在一个软化温度范围；②晶体具有各向异性，而非晶体却为各向同性。 2.1.1 空间点阵和晶胞
实际晶体中的质点（原子、分子、离子或原子团等）在三维空间可以有无限多种排列形式。为了便于分析研究晶体中质点的排列规律性，可先将实际晶体结构看成完整无缺的理想晶体，并将其中每个质点抽象为规则排列于空间的几何点，称之为阵点。这些阵点在空间呈周期性规则排列并具有完全相同的周围环境，这种由它们在三维空间规则排列的阵列称为空间点阵，简称点阵。为便于描述空间点阵的图形，可用许多平行的直线将所有阵点连接起来，于是就构成一个三维几何格架，称为空间格子。
为说明点阵排列的规律和特点，可在点阵中取出一个具有代表性的基本单元（最小平行六面体）作为点阵的组成单元，称为晶胞。将晶胞作三维的重复堆砌就构成了空间点阵。
在点阵中选取晶胞
晶胞、晶轴和点阵矢量
同一空间点阵可因选取方式不同而得到不相同的晶胞，在一个二维点阵中可取出多种不同晶胞。为此，要求选取晶胞最能反映该点阵的对称性，选取晶胞的原则为：
（1）选取的平行六面体应反映出点阵的最高对称性。 （2）平行六面体内的棱和角相等的数目应最多。
（3）当平行六面体的棱边夹角存在直角时，直角数目应最多。 （4）在满足上述条件的情况下，晶胞应具有最小的体积。 特征：每个阵点在空间的分布必须具有完全相同的周围环境。 晶胞形状和大小的描述（两种方法）：
①6个点阵参数：平行六面体的三条棱边的边长a，b，c（称为点阵常数）及棱间夹角?，?，?。 ②3个点阵矢量a，b，c（更为方便）。不仅确定了晶胞的形状和大小，并且完全确定了此空间点阵。 简单晶胞（初级晶胞）：只有在平行六面体每顶角上有一阵点。 复杂晶胞：除在顶角外，在体心、面心或底心上有阵点。
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根据6个点阵参数间的相互关系，可将全部空间点阵归属于7种类型，即7个晶系。
按照“每个阵点的周围环境相同”的要求，布拉维（Bravais A.）用数学方法推导出能够反映空间点阵全部特征的单位平行六面体只有14种，这14种空间点阵也称布拉维点阵。
14种布拉维点阵的晶胞
布拉维点阵（简单(P)，体心(I)，面心(F)，底心(C)。） 晶系 棱边长度及夹角关系 三斜 单斜 a?b?c, ??????90° a?b?c, ?=?=90°?? 布拉维点阵 简单三斜 简单单斜 底心单斜 简单正交 正交 a?b?c, ?=?=?=90° 底心正交 体心正交 面心正交 同一空间点阵可因选取晶胞的方式不同而得出不同的晶胞。
立方晶系中若体心立方布拉维点阵晶胞用图(b)中实线所示的简单三斜晶胞来表示，面心立方点阵晶胞用图(c)中实线所示的简单菱方来表示，显然，新晶胞不能充分反映立方晶系空间点阵的对称性，故不能这样选取。
立方 a=b=c, ?=?=?=90° 晶系 六方 菱方 四方 （正方） 棱边长度及夹角关系 a1=a2=a3?c, ?=?=90°, ?=120° a=b=c, ?=?=??90° a=b?c, ?=?=?=90° 布拉维点阵 简单六方 简单菱方 简单四方 体心四方 简单立方 体心立方 面心立方
立方晶系布拉维点阵晶胞的不同取法
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注意，晶体结构与空间点阵是有区别的。
空间点阵是晶体中质点排列的几何学抽象，用以描述和分析晶体结构的周期性和对称性，由于各阵点的周围环境相同，故它只能有14种类型。
晶体结构则是指晶体中实际质点（原子、离子或分子）的具体排列情况，它们能组成各种类型的排列，因此，实际存在的晶体结构是无限的。
不能把密排六方晶体结构看作一种空间点阵。
因为位于晶胞内的原子与晶胞角上的原子具有不同的周围环境。
若将晶胞角上的一个原子与相应的晶胞之内的一个原子共同组成一个阵点（0,0,0阵点可看作是由0,0,0和2/3,1/3,1/2这一对原
密排六方晶体结构
子所组成的），这样得出的密排六方结构应属简单六方点阵。
具有相同点阵的晶体结构
三种晶体结构同属于面心立方点阵，却有着很大的差异，属于不同的晶体结构类型。
都是体心立方结构， 但Cr属体心立方点阵， 而CsCl则属简单立方点阵。
晶体结构相似而点阵不同
2.1.2 晶向指数和晶面指数
在材料科学中讨论有关晶体的生长、变形、相变及性能等问题时，常须涉及晶体中原子的位置、原子列的方向（称为晶向）和原子构成的平面（称为晶面）。为了便于确定和区别晶体中不同方位的晶向和晶面，国际上通常用米勒（Miller）指数来统一标定晶向指数与晶面指数。 1. 晶向指数
晶向指数的确定步骤：
（1）确定坐标系，以晶胞点阵矢量的长度作为坐标轴的长度单位。 （2）过坐标原点，作直线与待定晶向平行。
（3）在该直线上任取 一点，并确定该点的坐标（x, y, z）。
（4）将这3个坐标值化为最小整数u，v，w，加上方括号，[uvw]即为待定晶向的晶向指数。若坐标中某一数值为负，则在相应的指数上加一负号，如[1 1 0]，[1 0 0]等。
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点阵矢量
正交晶系一些重要晶向的晶向指数
晶向指数代表一组相互平行、方向一致的晶向。若所指的方向相反，则晶向指数的数字相同，但符号相反，如[110]和[1 1 0]就是两个相互平行，而且方向相反的晶向（[111]和[111]）（平行反向）。
晶向指数就是该组晶列中过坐标原点的那条晶列上离坐标原点最近的阵点坐标。
晶向族〈uvw〉：具有等同性能的晶向归并而成。晶体中因对称关系而等价的各组晶向可归并为一个晶向族，用〈uvw〉表示。
例如，立方晶系中的轴向[100]，[010]，[001]，[1 0 0]，[0 1 0]，[0 0 1]就可用符号〈100〉表示；面对角线[110]，[101]，[011]，[1 1 0]，[1 0 1]，[1 1 0]，[0 1 1]，[1 0 1]，[0 1 1]，[1 1 0]，[1 0 1]，[0 1 1]就可用符号〈110〉表示；八条体对角线[111]，[1 11]，[1 1 1]，[1 1 1]，[1 1 1]，[1 1 1]，[1 1 1]和[11 1]就可用符号〈111〉表示。
轴向
面对角线
体对角线
指数看特征，正负看走向。 2. 晶面指数
晶面指数标定步骤如下：
(1) 在所求晶面外取晶胞的某一顶点为原点O，三棱边为三坐标轴x, y, z
(2) 以棱边长a为单位，量出待定晶面在三个坐标轴上的截距。若该晶面与某轴平行，则在此轴上截距为∞；若某一截距为负，则在其上加一负号。
(3) 取截距之倒数，并化为互质的整数h, k, l并加以圆括号(h k l)即是。
晶面指数的表示方法
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