2. 乌尔夫网（Wulff net）
乌尔夫网由经线和纬线组成，经线是由参考球空间每隔2°等分且以NS轴为直径的一组大圆投影而成；而纬线则是垂直于NS轴且按2°等分球面空间的一组大圆投影而成。乌尔夫网在绘制时如实地保存着角度关系。经度沿赤道线读数；纬度沿基圆读数。
测量时，先将投影图画在透明纸上，其基圆直径与所用乌尔夫网的直径大小相等，然后将此透明纸复合在乌尔夫网上测量。利用乌尔夫网不仅可以方便地读出任一极点的方位，而且可以测定投影面上任意两极点间的夹角。
特别注意的是，使用乌尔夫网时应使两极点位于乌尔夫网经线或赤道上，才能正确度量晶面（或晶向）之间的夹角。 2.1.5 倒易点阵
在研究晶体衍射时，某晶面（h k l）能否产生衍射的重要条件是，该晶面相对入射束的方位和晶面间距dhkl
应满足布拉格方程：n? = 2dsin?。
倒易点阵是从实际点阵（正点阵）经过一定转化导出的抽象点阵。倒易点阵中的每一结点对应着实际点阵中的一定晶面，既能反映该晶面的取向，又能反映其晶面间距。若已知某晶体点阵（正点阵）中的三个基矢为a, b, c，则其相应的倒易点阵的基矢a*, b*, c*定义如下：
a*?b*?c*?式中，V0为正点阵中晶胞体积。
两者基本关系为：
b?c1?b?c??a??b?c?V0c?a1?c?a? ?a??b?c?V0a?b1?a?b??a??b?c?V0a*?b?a*?c?b*?a?b*?c?c*?a?c*?b?0a?a?b?b?c?c?1***
这样，晶体点阵中的任一组晶面（h k l）在倒易点阵中，可用一个相应的倒易阵点[h k l]*来表示，而从倒易点阵的原点到该倒易点阵的矢量称为倒易矢量Ghkl。倒易矢量Ghkl的方向即为晶面（h k l）的法线方向，其模则等于晶面间距dhkl的倒数，通常写为：
Ghkl?ha*?kb*?lc*Ghkl1?dhkl
正点阵与倒易点阵之间是完全互为倒易的。例如，正点阵中一个一维的点阵方向与倒易点阵中一个二维的倒易平面对应，而前者的二维点阵平面又与后者的一维倒易点阵方向对应。用倒易点阵描述或分析晶体的几何关系有时比正点阵还方便。 2.2 金属的晶体结构
金属在固态下一般都是晶体。决定晶体结构的内在因素是原子或离子、分子间键合的类型及键的强弱。金属晶体的结合键是金属键。由于金属键具有无饱和性和无方向性的特点，从而使金属内部的原子趋于紧密排列，构成高度对称性的简单晶体结构；而亚金属晶体的主要结合键为共价键，由于共价键具有方向性，从而使其具有较复杂的晶体结构。
2.2.1 三种典型的金属晶体结构
元素周期表中的所有元素的晶体结构几乎都已用实验方法测出。最常见的金属晶体结构有面心立方结构A1或fcc、体心立方结构A2或bcc和密排六方结构A3或hcp三种。将金属原子看作刚性球。
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面心立方点阵
体心立方点阵
密排六方点阵
三种典型金属结构的晶体学特点
结构特征 点阵常数 原子半径R 晶胞内原子数n 配位数CN 致密度K 四面体间隙
数量 大小 数量
八面体间隙 1. 晶胞中的原子数
晶体具有严格对称性，晶体可看成由许多晶胞堆砌而成。晶胞中顶角处为几个晶胞所共有，而位于晶面上的原子也同时属于两个相邻的晶胞，只有在晶胞体积内的原子才单独为一个晶胞所有。
三种典型金属晶体结构中每个晶胞所占有的原子数n为： 大小
晶体结构类型
面心立方（A1）
a
体心立方（A2）
a
密排六方（A3） a, c （c/a = 1.633）
2a 44 12 0.74 8 0.225R 4 0.414R
3a 42 8 0.68 12 0.291R 6 0.154R<100> 0.633R<110>
a1a2c2?, ()
23426 12 0.74 12 0.225R 6 0.414R
11?6??4 821体心立方结构 n?8??1?2
811密排六方结构 n?12??2??3?6
62面心立方结构 n?8?2. 点阵常数与原子半径
晶胞的大小一般是由晶胞的棱边长度（a，b，c）即点阵常数（或称晶格常数）衡量的，它是表征晶体结构的一个重要基本参数。点阵常数主要通过X射线衍射分析求得。不同金属可以有相同的点阵类型，但各元素由
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于电子结构及其所决定的原子间结合情况不同，因而具有各不相同的点阵常数，且随温度不同而变化。
如果把金属原子看作刚球，并设其半径为R，则三种典型金属晶体结构的点阵常数与R之间的关系： 面心立方结构：点阵常数为a，且2a?4R R?2a a?22R； 434a a?R； 43体心立方结构：点阵常数为a，且3a?4R R?密排六方结构：点阵常数由a和c表示。在理想的情况下，即把原子看作等径的刚球，可算得c/a = 1.633，
a2c2??2R。 此时，a = 2R；但实际测得的轴比常偏离此值，即c/a ≠ 1.633，这时，343. 配位数和致密度
晶体中原子排列的紧密程度与晶体结构类型有关，通常以配位数和致密度两个参数来描述晶体中原子排列的紧密程度。
配位数（CN）是指晶体结构中任一原子周围最近邻且等距离的原子数。
致密度是指晶体结构中原子体积占总体积的百分数。如以一个晶胞来计算，则致密度就是晶胞中原子体积与晶胞体积之比值，即
K?V为晶胞体积。
三种典型金属晶体结构的配位数和致密度
晶体结构类型
A1 A2 A3
2.2.2 晶体的原子堆垛方式和间隙
n? V式中，K为致密度；n为晶胞中原子数；?是一个原子的体积，这里将金属原子视为刚性等径球，故v = 4πR3/3；
配位数CN
12 8 12
致密度K 0.74 0.68 0.74
三种晶体结构中均有一组原子密排面和原子密排方向，它们分别是面心立方结构的{111}〈110〉，体心立方结构的{110} <111>和密排六方结构的{0001}?1120?。这些原子密排面在空间一层一层平行地堆垛起来就分别构成上述三种晶体结构。
面心立方和密排六方结构的致密度均为0.74，是纯金属中最密集的结构。因为在面心立方和密排六方点阵中，密排面上每个原子和最近邻的原子之间都是相切的；而在体心立方结构中，除位于体心的原子与位于顶角上的8个原子相切外，8个顶角原子之间并不相切，故其致密度没有前者大。
面心立方结构中{111}晶面和密排六方结构中{0001}晶面上的原子排列情况完全相同。若把密排面的原子中心连成六边形的网格，这个六边形的网格又可分为六个等边三角形，而这六个三角形的中心又与原子之间的六个空隙中心相重合。这六个空隙可分为B，C两组，每组分别构成一个等边三角形。为了获得最紧密的堆垛，第二
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层密排面的每个原子应坐落在第一层密排面（A层）每三个原子之间的空隙（低谷）上。
这些密排面在空间的堆垛方式有两种情况： 一种是密排六方结构按ABAB??或ACAC??的顺序堆垛；另一种是面心立方结构按ABCABC??或
密排六方和面心立方结构中密排面的分析
ACBACB??的顺序堆垛。
从晶体中原子排列的刚性模型和对致密度的分析可以看出，金属晶体存在许多间隙，这种间隙对金属的性能、合金相结构和扩散、相变等都有重要影响。
三种典型晶体中的间隙
晶体结构 面心立方 (fcc)
体心立方 (bcc)
密排六方（c/a = 1.633）
(hcp)
间隙类型 四面体间隙 八面体间隙 四面体间隙 八面体间隙 四面体间隙 八面体间隙
间隙数目
8 4 12 6 12 6
间隙大小（rA/rB）
0.225 0.414 0.291 0.154<100> 0.633<110> 0.225 0.414
三种典型金属晶体结构的间隙位置示意图如图所示。其中位于6个原子所组成的八面体中间的间隙称为八面体间隙，而位于4个原子所组成的四面体中间的间隙称为四面体间隙。图中实心圆圈代表金属原子，令其半径为rA；空心圆圈代表间隙，令其半径为rB。rB实质上是表示能放入间隙内的小球的最大半径。
面心立方结构中的间隙 八面体间隙1 + 12 × 1/4 = 4个 四面体间隙2 × 4 = 8个
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体心立方结构中的间隙
八面体间隙6 × 1/2 + 12 × 1/4 = 6个 四面体间隙24 × 1/2 = 12个
密排六方结构中的间隙 八面体间隙6 × 1 = 6个
四面体间隙12 × 1/3 + 8 = 12个
2.2.3 多晶型性
有些固态金属在不同的温度和压力下具有不同的晶体结构即具有多晶型性，转变的产物称为同素异构体。例如，铁在912°C以下为体心立方结构，称为?-Fe；在912～1394°C具有面心立方结构，称为?-Fe；温度超过1394°C至熔点间又变成体心立方结构，称为?-Fe。由于不同晶体结构的致密度不同，当金属由一种晶体结构变为另一种晶体结构时，将伴随有质量体积的跃变，即体积的突变。当纯铁加热时，在?-Fe转变为?-Fe及?-Fe转变为?-Fe时，均会因体积突变而使其膨胀曲线上出现明显的转折点。具有多晶型性的其他金属还有Mn，Ti，Co，Sn，Zr，U，Pu等。
同素异构转变对于金属是否能够通过热处理操作来改变它的性能具有重要的意义。
纯铁加热时的膨胀曲线
2.3 合金相结构
合金是指由两种或两种以上的金属或金属与非金属经熔炼、烧结或其他方法组合而成，并具有金属特性的物质。组成合金的基本的、独立的物质称为组元。组元可以是金属或非金属元素，也可以是化合物。例如，应用最普遍的碳钢和铸铁就是主要由铁和碳所组成的合金；黄铜则为铜和锌的合金。
改变和提高金属材料的性能，合金化是最主要的途径。要知合金元素加入后是如何起到改变和提高金属性能的作用，首先必须知道合金元素加入后的存在状态，即可能形成的合金相及其组成的各种不同组织形态。而所谓相是合金中具有同一聚集状态、同一晶体结构和性质并以界面相互隔开的均匀组成部分。由一种相组成的合金称为单相合金，而由几种不同的相组成的合金称为多相合金。尽管合金中的组成相多种多样，但根据合金组成元素及其原子相互作用的不同，固态下所形成的合金相基本上可分为固溶体和中间相两大类。
固溶体是以某一组元为溶剂，在其晶体点阵中溶入其他组元原子（溶质原子）所形成的均匀混合的固态溶体，它保持着溶剂的晶体结构类型；而如果组成合金相的异类原子有固定的比例，所形成的固相的晶体结构与所有组元均不同，且这种相的成分多数处在A在B中溶解限度和B在A中的溶解限度之间，即落在相图的中间部位，故称它为中间相。
合金组元之间的相互作用及其所形成的合金相的性质主要是由它们各自的电化学因素、原子尺寸因素和电子
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