E??kql??r???2??2,E??kql??r???2??2,
?q?qE?E?E??E?????11??kq??22??l?l???r?r???????22????? ??2P?E?l/2l/2rq??l??k2??1??r??2r?? ?kl????1??2r???2????
图1-1-6
q?ll?1??1???2r?rr?
?k2qlr3
c.若T为空间任意一点，它到两电荷连线的中点的距离为r，如图1-1-7所示，则ql?在T点产生的场强分量为
ql?r3E??k?k2qlsin?r3ET，
E??TE//由ql//在T点产生的场强分量为
E//?k2ql//r3?k2qlcos?r3
?q?q故
ET?E??E//?kE?E//22图1-1-7
qlr33cos122??1,
tan???sin?2cos??tan?
例2、如图所示，在-d≤x≤d的空间区域内（y，z方向无限延伸）均匀分布着密度为ρ的正电荷，此外均为真空
（1）试求
x≤d处的场强分布；
（2）若将一质量为m，电量为??的带点质点，从x=d处由静止释放，试问该带电质点经过过多长时间第一次到达x=0处。
解： 根据给定区域电荷分布均匀且对称，在y、z方向无限伸展的特点，我们想象存在这样一个圆柱体，底面积为S，高为2x，
PE左、右底面在x轴上的坐标分别是-x和x，如
?dOSdx图1-1-8所示。可以判断圆柱体左、右底面处的场强必定相等，且方向分别是逆x轴方向和顺x轴方向。再根据高斯定理，便可求出坐标为x处的电场强度。
2x图1-1-8
（1）根据高斯定律E?2S?4?k???S?2x。坐标为x处的场强：
E?4?k?x（x≤d），x＞0时，场强与x轴同向，x＜0时，场强与x轴反向。
（2）若将一质量为m、电量为?q的带电质点置于此电场中，质点所受的电场力为：
F??qE??4?k?qx（x≤d）
显然质点所受的电场力总是与位移x成正比，且与位移方向相反，符合准弹性力的特点。质点在电场力的运动是简谐振动，振动的周期为
m4?k?qT?2???mk?q
当质点从x=d处静止释放，第一次达到x=0处所用的时间为
T4T4t???mk?q
§1、2电势与电势差
1．2．1、 电势差、电势、电势能
电场力与重力一样，都是保守力，即电场力做功与具体路径无关，只取决于始末位置。我们把在电场中的两点间移动电荷所做的功与被移动电荷电量的比值，定义为这两点间的
电势差，即
WUAB?ABq
这就是说，在静电场内任意两点A和B间的电势差，在数值等于一个单位正电荷从A沿任一路径移到B的过程中，电场力所做的功。反映了电场力做功的能力。即电势差仅由电场本身性质决定，与被移动电荷的电量无关；即使不移动电荷，这两点间的电势差依然存在。
如果我们在电场中选定一个参考位置，规定它为零电势点，则电场中的某点跟参考位置间的电势差就叫做该点的电势。通常我们取大地或无穷远处为零电势点。电势是标准量，其正负代表电势的高低，单位是伏特（V）。
电势是反映电场能的性质的物理量，电场中任意一点A的电势，在数值上等于一个单位正电荷A点处所具有的电势能，因此电量为q的电荷放在电场中电势为U的某点所具有的电势能表示为??qU。
1．2．2、 几种常见带电体的电势分布 （1）点电荷周围的电势
如图1-2-1所示，场源电荷电量为Q，在离Q为r的P点处有一带电量为q的检验电荷，现将该检验电荷由P点移至无穷远处（取无穷远处为零电势），由于此过程中，
所受电场力为变力，故将q移动的整个过程理解为由P移至很近的P1（离Q距离为r1）点，再由P1移至很近的P2（离Q距离为r2）点??直至无穷远处。在每一段很小的过程中，电场力可视作恒力，因此这一过程中，电场力做功可表示为：
Qqr2QrPP1r1P2r2图1-2-1
W?k?r1?r??kQqr12?r2?r1??kQqr22?r3?r2????
?kQqrr1kQqr?r1?r??kQqr1r2kQqr1?r2?r1??kQqr2r3kQqr2?r3?r2??
???
?kQqr3??kQqr1??kQqr2?
?k??
Qqr
所以点电荷周围任一点的电势可表示为：
U?kQr
式中Q为场源电荷的电量，r为该点到场源电荷的距离。
（2）均匀带电球壳，实心导体球周围及内部的电势。
由于实心导体球处于静电平衡时，其净电荷只分布在导体球的外表面，因此其内部及周围电场、电势的分布与均匀带电球壳完全相同。由于均匀带电球壳外部电场的分布与点电荷周围电场的分布完全相同，因此用上面类似方法不难证明均匀带电球壳周围的电势为。
Qr r＞R
U?k式中Q为均匀带电球壳的电量，R为球壳的半径，r为该点到球壳球心的距离。
k?qR在球壳上任取一个微元，设其电量为?q，该微元在球心O处产生的电势
Ui?。
由电势叠加原理，可知O点处电势等于球壳表面各微元产生电势的代数和，
k?qRkRU??Ui?????q。
U?kQR
kQ因为均匀带电球壳及实心导体球均为等势体，因而它们内部及表面的电势均为R。
?kQ?r(r?R)U??kQ??R (r?R)
1．2．3、电势叠加原理
电势和场强一样，也可以叠加。因为电势是标量，因此在点电荷组形成的电场中，任一点的电势等于每个电荷单独存在时，在该点产生的电势的代数和，这就是电势叠加原理。
例3、如图1-2-2所示，两个同心导体球，内球半径为R1，外球是个球壳，内半径为R2，外半径R3。在下列各种情况下求内外
R3R2R1球壳的电势，以及壳内空腔和壳外空间的电势分布规律。 （1）内球带?q，外球壳带?Q。 （2）内球带?q，外球壳不带电。 （3）内球带?q，外球壳不带电且接地。 （4）内球通过外壳小孔接地，外球壳带?Q。 解: 如图1-2-2所示，根据叠原理：
（1）R1处有均匀的?q，R2必有均匀的?q，R3处当然有??Q?q?电荷，因此：
U1?kqR1qR2?kqR2qR2?k图1-2-2
?Q?q?R3内球
U?k
?k2?k?k?Q?q?R3qR2
?Q?q?R3外球
U12?U1?U2?kqR1?k电势差
U内?kqr?kqR2?k?Q?q?R3腔内
（R1＜r＜R2）