1其所带电量之间的函数关系如图1-5-1所示，斜率为C。设每次都搬运极少量的电荷?Q，此过程可认为导体上的电势不变，设为Ui，该过程中搬运电荷所做的功为Wi?Ui?Q，即图中一狭条矩形的面积（图中斜线所示）因此整个过程中，带电导体储存的能量为
W??Wi??Ui?Q
其数值正好等于图线下的许多小狭条面积之和，若?Q取得尽可能小，则数值就趋向于图线下三角形的面积。
12Q2W??Ui?Q?QU?2C?12CU2
上述带电导体的静电能公式也可推广到带电的电容器，因为电容器两板间的电势差与极板上所带电量的关系也是线性的。
1．5．2、 电场的能量
12由公式
W?CU2，似乎可以认为能量与带电体的电量有关，能量是集中在电荷上的。
其实，前面只是根据功能关系求得带电导体的静电能，并未涉及能量的分布问题。由于在静电场范围内，电荷与电场总是联系在一起的，因此电能究竟与电荷还是与电场联系在一起，尚无法确定。以后学习了麦克斯韦的电磁场理论可知，电场可以脱离电荷而单独存在，并以有限的速度在空间传播，形成电磁波，而电磁波携带能量早已被实践所证实。因此我们说，电场是电能的携带者，电能是电场的能量。下面以平行板电容器为例，用电场强度表示能量公式。
1212W?CU2???S4?kdEd22??ESd8?k2
单位体积的电场能量称为电场的能量密度，用?来表示
WV????E28?k
上式是一个普遍适用的表达式，只要空间某点的电场强度已知，该处的能量密度即可求出，而整个电场区的电场能量可以通过对体积求和来求得。
1．5．3、电容器的充电
如图1-5-2所示，一电动势为U的电源对一电容为C的电容器充电，充电完毕后，电容器所带电量
Q?CU
电容器所带能量
W?12CU2
而电源在对电容器充电过程中，所提供的能量为
W??QU?CU2?2W
也就是说，在充电过程中，电容器仅得到了电源提供的一半能量，另一半能量在导线和电源内阻上转化为内能，以及以电磁波的形式发射出去。
例7、用N节电动势为?的电池对某个电容器充电，头一次用N节电池串联后对电容器充电；第二次先用一节电池对电容器充电，再用两节串联再充一次，再用三节串联再充??直到用N节串联充电，哪一种方案消耗电能多？
12解： 第一次电源提供的能量W?Q?N??，电容器储能
12Q?N???12C?N?E?Q?N??，消耗的能量
?E?W?E??2。
第二次充电时，电容器上电量从0→Q1→Q2→Q3??而 Q1?C? Q2?C(2?) Q3?C(3?) 电源每次提供能量为
2W1???Q???Q1?C? W2?2???Q2?2??Q2?Q1?1?2C?
2????
WN??QN?QN?1?1N??NC?2
W???W??C?2?1?122?3???N??12N?N?1?C?2
消耗的能量
?E??W??E?CN?2??E/N
显然，前一种方案消耗能量多，实际上，头一种方案电源搬运电量Q全部是在电势差
N?条件下进行的。第二种方案中，只有最后一次搬运电量?QN?QN?1?是在电势差N?下
进行的，其余N?1是在小于N?下进行的。
练习
1. 电偶极子的场（r>>l） 解：
U?kqr??k(?q)r?11?[(1?l2rl2rcos??kq(r??1?1l21l2rcos?l2rcos?)]cos?]?r?1l2cos?)?kqrkqrr2[
??cos?)?(1?kpr2kqlcos??cos??Er??E????U?r??2kpcos?rr33?Ur??kpsin?
2. P点与无限大均匀带电平面的距离为a，过P点作此平面垂线与平面交于O点，以O为圆心在平面上作一圆，已知圆内电荷在P点产生的场强为P点总场强的一半，求圆半径R。 解：以P为球心，a为半径作一半球面与平面相切（电荷面密度与平面相等），平面上任取小面元?S，相对P点所张立体角??，相应在半球面上割出小面元?S?
?S电荷在P点的场强 ?E??Ez??Ecos??k??Sr2
k??S?r2k??Scos?r2??k???
?S?电荷在P点的场强 ?E????E???Ez
k??S?a2?k???
可见半球面上所有面元电荷在P点产生场强大小之和等于P点总场强，故以O为圆心，R为半径的圆相对P所张立体角割出半球面上那部分面积应等于半球面面积的一半。
S??a2?2?a(1?cos?) 12322?cos??,sin??,tan??3
?R?3a
3. 把半径为R，电荷体密度为?的均匀带电的球体，切成八等分，求其中一份的电荷在球心O点产生的场强。
解：先求半球面（均匀带电?）在O点的场强E0? 取面元?S，?E?k??SR2
k??S?Rk?R22?Ex??Ecos??k??Scos?Rk?R22?
???E0?k??S?R2???S???R2?k??
半球面由四个八分之一球面构成，每个在O点场强E0??，其x分量为Eo??x
??4Eo??x Eo??x?Eo??y?Eo??z?Eo??? ?Eo 3E??ox????Eo34k??
把半径为R的八分之一球体分成一系列半径不同的薄球壳，其中半径为r，厚度为?r的薄的八分之一球壳在O点的场强 E0??(r)?34k??(r)?34k???r
?Eo????(r)?Eo34k????r?34k??R
4. 两个完全相同的均匀带电的半球面，如图所示地叠放在一起，球面半径是R，带电量为q，两球面过球心的对称轴重合在一起，两球心间的距离小于半径R，已知左半球面球心O1点的电势为U0,求右半球面球心O2点的电势U。 解：
??左半球面电荷在O1点产生的电势UO1kqR
设右半球面电荷在O点产生的电势为Ux
U0??Ux,?U?U01x?U0?kqR
kqR右半球面电荷在O2点产生的电势U0?2?
设左半球面电荷在O2点产生的电势为Uy
?Uy?2kqR2?Ux?3kqRR?(?U3kqR0
??U?U?U0y?kq?U0)?4kqR?U0
5. 球面上具有?(?)??0cos?电荷分布的球内一点的场强。 解：
可视为两均匀带电球体（+?、-?）球心错开一小距离d
??????????4????????444?E?E??E???k?r???k(??)r???k?(r??r?)??k?d3333?43??k?0k
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