于是连续性方程（1-65）变为：
??(??x)?(??y)?(??z)?2?H?????x?y?z?(??n?)?g?x?y?z??y?z??t??x（1-69）
?p?H???Hp????g?(H?Z)g??g??t?t?t??t 又 ?t?p?g?H?H???g?t（1-70） 则 ?t1??p?t?M?H???s?x?y?z?t令 ?s?(??n?)?g，则 ?t
根据连续性原理有：
??(??x)?(??y)?(??z)??M???????x?y?z?t?x?y?z??
??(??x)?(??y)?(??z)??M?H???s?x?y?z???????x?y?z?t?t?x?y?z??则有：
??（??x)?(??y)?(??z)??H?????x?y?z????x?y?z?s?x?y?z?t?即：?
将
?x??K?h?h?h,?y??K,?z??K?x?y?z代入，整理得：
?????H??H??H??H(K)?(K)?(K)??x?y?z???s?x?y?z?x?y?y?z?z??t??x，所以有 ??H??H??H?H(K)?(K)?(K)??s?x?x?y?y?z?z?t（1-71）
上式为三维流微分方程，也可写成：
divK?grad(h)??s???H?t
物理意义：渗流空间内任一单位体积含水层在单位时间内流入与流出该体积含水层中的弹性水量的变化量，即单位体积含水层的水量均衡方程。
基本微分方程是研究承压含水层中地下水运动的基础。它反映了承压含水层中地下水运动的质量守恒关系，表明单位时间内流入、流出单位体积含水层的水量差（左端）等于同一时间内单位体积含水层弹件释放(或弹性贮存)的水量（右端）。它还通过应用Darcy定律反映了地下水运动中的能量守恒与转化关系。可见，基本微分方程表达了渗流区中任何一个“局部”都必须满足质量守恒和能量守恒定律。
数学意义：表示渗流空间内任一点任一时刻的渗流规律。
在柱坐标系中，有
1??H1?2H?2H?s?H(r)?2?2?r?r?rK?t（1-72a） r??2?z?2H1?H1?2H?2H?s?H??2?2?22r?rr??K?t（1-72b） ?z或 ?r由地下水流基本微分方程（1-71），在均质各向同性介质中，方程简化为：
?2H?2H?2H?s?H?2?2?K?t（1-73） ?x2?y?z对于各向异性介质，若把坐标轴方向和各向异性介质的主方向定为一致，则有
??H??H??H?H(Kxx)?(Kyy)?(Kzz)??s?x?x?y?y?z?z?t（1-74）
在二维流情况下，基本微分方程可表示为：
??H??H?H(T)?(T)????x?x?y?y?t（1-75）
上式即为承压水平面二维流微分方程，该方程是研究承压水含水层中地下水运动的基础，反映了承压水含水层中地下水运动的质量守恒关系，表明单位时间流入、流出单位体积含水层的水量差等于同一时间内单位体积含水层弹性释放（或贮存）的水量。
在实际渗流问题中若存在抽、注水及越流影响，只要在微分方程中的左端中通过加、减W项，通常把该项称为源汇项。所谓的源项表示在垂直方向上有水流入含水层，此时W为正；汇指在垂直方向上有水流出含水层，此时W为负。
此时（1-71）式变成：
??H??H??H?H(K)?(K)?(K)?w??s?x?x?y?y?z?z?t（1-76）
二维流情况下：
??H??H?H(T)?(T)?w????x?x?y?y?t（1-77）
*a?T/?在二维流情况下，令压力传导系数（导压系数），则均质各向同性含水层
基本微分方程为：
?2H?2H1?H??w?a?t（1-78） ?x2?y2非均质各向同性含水层中的稳定流运动：
??H??H??H(K)?(K)?(K)?0?x?x?y?y?z?z（1-79）
均质各向同性含水层中的稳定流运动：
?2H?2H?2H?2?2?02?x?y?z（1-80）
上式也称Laplace方程。稳定运动方程的右端都等于零，意味着同一时间内流入单元体的水量等于流出的水量。这个结论不仅适用于承压含水层，也适用于潜水含水层和越流含水层。
1.6.2 越流含水层中地下水运动的基本微分方程
在自然界中，存在以下情况，承压含水层的上、下岩层并不是绝对隔水的，其中一个或两个可能是弱透水层。虽然含水层会通过弱透水层和相邻含水层发生水力联系，但它还是处于承压状态，将其称为半承压含水层。当该含水层和相邻含水层间存在水头差时，地下水就会从高水头含水层通过弱透水层流向低水头含水层。这种现象称为越流。半承压含水层称为越流含水层。
假设：主含水层渗透系数K远远大于若透水层的渗透系数K1；主含水层弹性释放的水量、弱透水层的越流量远远大于弱透水层弹性释放的水量。主含水层中的水流近似地看作二维流
1MH?H(x,y,t)?H(x,y,z,t)dz?0M问题， 。
对于均衡单元体，根据水均衡原理可以写出下列形式的连续性方程：
[(Qx??Qy?y?Qy?y?Qx?x?Q?x)?(Qx?x)]?t?[(Qy?)?(Qy?)]?t?x2?x2?y2?y2
?(v2?v1)?x?y?t????H?x?y?t?t（1-81）
式中，v1，v2分别为通过上部和下部弱透水层的垂直越流速率或越流强度，即
v1??K1?H1H?H1?H2H?H1?K1,v2??K2?K22?zm1?zm2（1-82）
其中，H1(x, y, t)和H2(x, y, t)分别为上含水层和下含水层中的水头，如T表示主含水层的导水系数，则得到不考虑弱透水层弹性释水条件下非均质各向同性越流含水层中非稳定运动的基本微分方程：
H?H1H?H??H??H?H(T)?(T)?K1?K22????x?x?y?ym1m2?t（1-83）
对于均质各向同性介质来说，有：
?2H?2HH?H1H2?H???H????2222T?t（1-84） ?x?yB1B2B1?式中
Tm1,K1B2?Tm2K2（1-85）
分别称为上、下两个弱透水层的越流因素。
越流因素B的量纲为[L]。弱透水层的渗透性愈小，厚度越大，则B越大，越流量越小。在自然界中，越流因素值的变化很大，可以从几米到若干公里。对于一个完全隔水的覆盖层来说，B为无穷大。
另一个反映越流能力的参数是越流系数?'。其定义为：当主含水层和供给越流的含水层间的水头差为一个长度单位时，通过主含水层和弱透水层间单位面积界面上的水流量。因此，
?'?K1m1（1-86）
K1、m1分别为弱透水层的渗透系数和厚度。?'越大，相同水头差下的越流量越多。 1.6.3 潜水运动的基本微分方程 1.6.3.1Dupuit 假设
图1-16 Dupuit假设
在潜水面上任意取一点P，有：
dHdzJ??????sin?dsds（1-87）
该点的流速v方向与潜水面相切，则由达西定律有：vs=-KJ=-Ksinθ。
当θ很小时，tgθ=sinθ。此时，(1)潜水面比较平缓，等水头面呈铅直，水流基本水平，可忽略渗流速度的垂直分量vZ；（2）隔水底板水平，铅垂剖面上各点的水头都相等，各点的水力坡度和渗流速度都相等，H(x,y,z,t)可以近似地用H(x,y,t)代替，此即著名的Dupuit 假设。
渗流速度：
vx??KdHdx，H=H(x) （1-88）
通过宽度B的铅直平面的流量为
Qx??KhdHdx， H=H(x) （1-89）
式中Qx——x方向的流量；
h——潜水含水层厚度；h=H（隔水层水平时）。 对于更一般情况，H=H(x，y)有：
Vx??K?h?H,Vy??K,?x?y（1-90） ?H?H,Qy??KhB?x?y（1-91）
则得：
Qx??KhB由于Dupuit假设的引入，将垂直方向的水流速度忽略，减少了z变量，简化了计算，但会
2产生一定的误差，经验证明当i??1时，产生的误差很小，误差表达式为：
h2?h2???hH??2?2?i2dh0??,i?22dxh1?i2（1-92）
表1- 用tg? 代替sin?的误差
?????1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
tg? 0.01746 0.03492 0.05241 0.06993 0.08749 0.10510 0.12278 0.14054 0.15838 0.17633 0.19438 0.21256 0.23087 0.24933 0.26795 0.28675 0.30573 0.32492 0.34433 0.36397 0.38386 0.40403
sin? 0.01745 0.03490 0.05234 0.06976 0.08716 0.10453 0.12187 0.13917 0.15643 0.17365 0.19081 0.20791 0.22495 0.24192 0.25882 0.27564 0.29237 0.30902 0.32557 0.34202 0.35837 0.37461
D -0.0000027 -0.0000213 -0.0000718 -0.000170 -0.000333 -0.000576 -0.000915 -0.001368 -0.001950 -0.002679 -0.003571 -0.004645 -0.005917 -0.007406 -0.009130 -0.011108 -0.013359 -0.015903 -0.018759 -0.021950 -0.025496 -0.029420
% -0.01523 -0.06095 -0.1372 -0.2442 -0.3820 -0.5508 -0.7510 -0.9828 -1.247 -1.543 -1.872 -2.234 -2.630 -3.061 -3.528 -4.030 -4.569 -5.146 -5.762 -6.418 -7.114 -7.853