初等数论试卷(B)
一，选择题（满分15分，每题3分）
1，下列不正确的是（ ）
A 设m∈N?，a,b∈Z,若a?b(modm)
，则b?a(modm)。
B 设m∈N?，a,b,c∈Z,若a?b?c(modm),则a?c?b(modm).
C 设m∈N?，a1,b1,a2,b2∈Z，,若a1?b1(modm)，a2?b2(modm)，a1a2?b1b2(momd)。
D 设m∈N?，a,b∈Z,若a2?b2(modm) ，则a?b(modm)。
2，下列哪一个为模12互质的剩余类（ ） A [2]，B [5]，C [6]，D [3]。
3，下列哪一个有理数不可以化为有限小数（ ） A
320，B 760，C 1195，D 100。 4，同余方程x2?2?0(mod5)的解为（ ）
A x?0(mod5)，B x?4(mod5)，C x?2(mod5)，D 此方程无解。 5，下列哪一个同余方程组无解（ ）
?x?9(mod25)?x?4(mod A ?9)? ，B ??
??x?7(mod10)??x?1(mod6)?C ?x?17(mod25)?x?19(mod14)?，D ??。
??x?2(mod45)??x?26(mod7)二，填空题（满分10分，每题2分）
1，当m= 时，32?11(modm)和17?11(modm)同时成立。 2，设m∈N?，则 为模m的非负最小完全剩余系。 3，?(16)? 。
4，写出模8的一个简化剩余系： 。 5，余式x?a(mod5)等价于等式： 。 三，判断题（满分10分，每题2分 ）
则
1，?(m)为欧拉函数，则1??(m)?m?1。 （ ） 2， 设m∈N?，a∈Z，（a,m）=1，若整数集合?a1,a2,......,a?(m)剩余系，则?aa1,aa2,......,aa?(m)?为模m的一个简化
?也为模m的一个简化剩余系。 （ ）
3，模m的完全剩余系只有有限个。 （ ）
?545?的循环节长度为4。 （ ） 4，循环小数0.30145，两整数相等，则必同余。 四，求解题（满分30分 ）
1，用“弃九法”验算下面式子是否正确：
28947?34578?1001865676。（7'）
2，求
711所化成的循环小数的循环节的长度。（7'） 3，求同余方程9x?6(mod15)的所有解。（8'）
?x?2(mod34，求同余方程组?)?x?3(mod5)的解。（8'）
??x?2(mod7)五，证明题（满分25分 ）
1，证明：
对
一
切
正
整
数
x15x5?24x4?32x3?16x2?3x?13?7x5?3x?3(mod8)。（7'） 2，设p,q是两个大于3的质数，证明：p2?q2(mod24).（8'） 3，求证：当n为奇数时，(a?b)(an?bn)。（10'）
初等数论考试试卷1
一、单项选择题(每题3分，共18分) 1、如果ba，ab，则( ).
A a?b B a??b C a?b D a??b 2、如果3n，5n，则15（ ）n.
A 整除 B 不整除 C 等于 D不一定 3、在整数中正素数的个数（ ）.
A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定 4、如果a?b(modm),c是任意整数,则
A ac?bc(modm) B a?b C ac?bc(modm) D a?b
（ 都） 有
，
5、如果( ),则不定方程ax?by?c有解.
A (a,b)c B c(a,b) C ac D (a,b)a 6、整数5874192能被( )整除.
A 3 B 3与9 C 9 D 3或9
二、填空题(每题3分，共18分)
1、素数写成两个平方数和的方法是（ ）.
2、同余式ax?b?0(modm)有解的充分必要条件是( ).
3、如果a,b是两个正整数,则不大于a而为b的倍数的正整数的个数为( ). 4、如果p是素数,a是任意一个整数,则a被p整除或者( ). 5、a,b的公倍数是它们最小公倍数的( ).
6、如果a,b是两个正整数,则存在( )整数q,r,使a?bq?r,0?r?b.
三、计算题(每题8分，共32分) 1、求[136,221,391]=?
2、求解不定方程9x?21y?144. 3、解同余式12x?15?0(mod45).
?429???563??,其中563是素数. （8分） 4、求
四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分)
nn2n3??326是整数. n1、证明对于任意整数,数
2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.
3、证明形如4n?1的整数不能写成两个平方数的和.
试卷1答案
一、单项选择题(每题3分，共18分)
1、D. 2、A 3、C 4、A 5、A 6、B 二、填空题(每题3分，共18分)
1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）.
2、同余式ax?b?0(modm)有解的充分必要条件是((a,m)b).
a[]3、如果a,b是两个正整数,则不大于a而为b的倍数的正整数的个数为( b ). 4、如果p是素数,a是任意一个整数,则a被p整除或者( 与p互素 ).
5、a,b的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数 ).
6、如果a,b是两个正整数,则存在( 唯一 )整数q,r,使a?bq?r,0?r?b.
三、计算题(每题8分，共32分) 1、 求[136,221,391]=?（8分）
136?221,39117解 [136,221,391]=[[136,221],391]=[]=[1768,391] 1768?39117 = =104?391=40664.
2、求解不定方程9x?21y?144.（8分）
3144， 解：因为（9，21）=3，所以有解；化简得3x?7y?48；考虑3x?7y?1，有x??2,y?1，
所以原方程的特解为x??96,y?48，因此，所求的解是x??96?7t,y?48?3t,t?Z。 3、解同余式12x?15?0(mod45). （8分）
解 因为(12,45)=3|5,所以同余式有解,而且解的个数为3. 又同余式等价于
4x?5?0(mod15),即4x?5?15y.
我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是(10,3), 即定理4.1中的
x0?10.
因此同余式的3个解为
x?10(mod45),
x?10?4545(mod45)?25(mod45)x?10?2?(mod45)?40(mod45)33,.
?429???563?,其中563是素数. （8分） 4、求??429???563??看成Jacobi符号,我们有 解 把
429?1563?1.22?429????(?1)563???563???429??4292?18?563??134??2??67?????????????(?1)?429??429??429??429??67???????(?1)?429??27???????(?1)?67?67?1429?1.22?67????429?---------------（3
分）
?429??429????????67??67?----------------------（2分）
27?167?1.22?67??67???????27??27??13?????(?1)?27?27?113?1.22?27??1???????1?13??13?,-----------------（2分）
即429是563的平方剩余. ---------------（1分）
四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分)
nn2n3??326是整数. (10分) 1、证明对于任意整数n,数
nn2n3n1(2?3n?n2)n(n?1)(n?2)??66326 证明 因为==, ------（3分）
而且两个连续整数的乘积是2的倍数,3个连续整数的乘积是3的倍数, -----（2分）
并且(2,3)=1, -----（1分） 所以从
2n(n?1)(n?2)和
3n(n?1)(n?2)有
6n(n?1)(n?2),-----（3分）
nn2n3??326是整数. -----（1分） 即
2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除. （11分）
332(n?1)?n?3n?3n?1, -------------（3分） 证明 因为
2所以只需证明3n?3n?1?(mod5).
而我们知道模5的完全剩余系由-2,-1,0,1,2构成,
2所以这只需将n=0,±1,±2代入3n?3n?1分别得值1，7，1，19，7. 2对于模5, 3n?3n?1的值1，7，1，19，7只与1，2，4等同余,
2所以3n?3n?1?(mod5) ---------（7分）
所以相邻两个整数的立方之差不能被5整除。 --------（1分）
3、证明形如4n?1的整数不能写成两个平方数的和. （11分）
证明 设n是正数,并且n??1(mod4), ----------（3分）