?x?1(mod7)?（4）?x?2(mod8).
?x?3(mod9)?解 因为(7,8,9)=1,所以可以利用定理5.1.我们先解同余式
72x?1(mod7),63x?1(mod8),56x?1(mod9),
得到x1?4(mod7),x2??1(mod8),x3??4(mod9).于是所求的解为
x?72?4?1?63?(?1)?2?56?(?4)?3(mod494)
??510(mod494)?478(mod494).
?x?1(mod2)?x?2(mod5)?（5）?.
?x?3(mod7)??x?5(mod9) (参考上题)
三、证明题
1、 如果整数a的个位数是5,则该数是5的倍数. 证明 设a是一正整数,并将a写成10进位数的形式:
a=an10n?an?110n?1??a0,0?ai10.
因为10?0(mod5), 所以我们得到
a?a0(mod5) 所以整数a的个位数是5,则该数是5的倍数.
2、证明当n是奇数时，有3(2n?1). 证明 因为2??1(mod3),所以
2n?1?(?1)n?1(mod3).
于是,当n是奇数时,我们可以令n?2k?1. 从而有2?1?(?1)nn2k?1?1?0(mod3),
即3(2?1).
初等数论考试试卷1
一、单项选择题(每题3分，共18分)
1、如果ba，ab，则( ).
A a?b B a??b C a?b D a??b 2、如果3n，5n，则15（ ）n.
A 整除 B 不整除 C 等于 D不一定 3、在整数中正素数的个数（ ）.
A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定 4、如果a?b(modm),c是任意整数,则
A ac?bc(modm) B a?b C ac?bc(modm) D a?b 5、如果( ),则不定方程ax?by?c有解.
A (a,b)c B c(a,b) C ac D (a,b)a 6、整数5874192能被( )整除.
A 3 B 3与9 C 9 D 3或9
二、填空题(每题3分，共18分)
1、素数写成两个平方数和的方法是（ ）.
2、同余式ax?b?0(modm)有解的充分必要条件是( ).
3、如果a,b是两个正整数,则不大于a而为b的倍数的正整数的个数为( ). 4、如果p是素数,a是任意一个整数,则a被p整除或者( ). 5、a,b的公倍数是它们最小公倍数的( ).
6、如果a,b是两个正整数,则存在( )整数q,r,使a?bq?r,0?r?b.
三、计算题(每题8分，共32分) 1、求[136,221,391]=?
2、求解不定方程9x?21y?144. 3、解同余式12x?15?0(mod45).
?429???563?,其中563是素数. （8分） 4、求?
四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分)
nn2n3??326是整数. 1、证明对于任意整数n,数
2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除. 3、证明形如4n?1的整数不能写成两个平方数的和. 试卷1答案
一、单项选择题(每题3分，共18分)
1、D. 2、A 3、C 4、A 5、A 6、B 二、填空题(每题3分，共18分)
1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）.
2、同余式ax?b?0(modm)有解的充分必要条件是((a,m)b).
a[]3、如果a,b是两个正整数,则不大于a而为b的倍数的正整数的个数为( b ). 4、如果p是素数,a是任意一个整数,则a被p整除或者( 与p互素 ).
5、a,b的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数 ).
6、如果a,b是两个正整数,则存在( 唯一 )整数q,r,使a?bq?r,0?r?b.
三、计算题(每题8分，共32分) 2、 求[136,221,391]=?（8分）
136?2211768?391,3911717解 [136,221,391]=[[136,221],391]=[]=[1768,391] =
=104?391=40664.
2、求解不定方程9x?21y?144.（8分）
3144， 解：因为（9，21）=3，所以有解；化简得3x?7y?48；考虑3x?7y?1，有x??2,y?1，
所以原方程的特解为x??96,y?48，因此，所求的解是x??96?7t,y?48?3t,t?Z。 3、解同余式12x?15?0(mod45).
解 因为(12,45)=3|5,所以同余式有解,而且解的个数为3. 又同余式等价于
4x?5?0(mod15),即4x?5?15y. 我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是
(10,3)即定理4.1中的
x0?10. 因此同余式的3个解为
x?10?45(mod45)?25(mod45)3,
x?10(mod45),
x?10?2?45(mod45)?40(mod45)3.
?429???563?,其中563是素数. （8分） 4、求?
?429???解 把?563?看成Jacobi符号,我们有
?429????(?1)?563?429?1563?1.22?563????429?4292?18?563??134??2??67?????????????(?1)429429429429?????????67???????(?1)?429??27???????(?1)?67?67?1429?1.22?67???429??---------------（3
分）
?429??429????????67??67?----------------------（2分）
27?167?1.22?67??67???????27??27??13?????(?1)?27?27?113?1.22?27??1???????1?13??13?,-----------------（2分）
即429是563的平方剩余. ---------------（1分）
四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分)
nn2n3??326是整数. (10分) n1、证明对于任意整数,数
nn2n3n1(2?3n?n2)n(n?1)(n?2)??26=6 证明 因为3=6, ------（3分）
而且两个连续整数的乘积是2的倍数,3个连续整数的乘积是3的倍数, -----（2分）
并且(2,3)=1, -----（1分） 所以从
2n(n?1)(n?2)和
3n(n?1)(n?2)有
6n(n?1)(n?2),-----（3分）
nn2n3??26是整数. -----（1分） 即3
2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除. （11分）
332(n?1)?n?3n?3n?1, -------------（3分） 证明 因为
2所以只需证明3n?3n?1?(mod5).
而我们知道模5的完全剩余系由-2,-1,0,1,2构成,
2所以这只需将n=0,±1,±2代入3n?3n?1分别得值1，7，1，19，7. 2对于模5, 3n?3n?1的值1，7，1，19，7只与1，2，4等同余,
2所以3n?3n?1?(mod5) ---------（7分）
所以相邻两个整数的立方之差不能被5整除。 --------（1分）
3、证明形如4n?1的整数不能写成两个平方数的和. （11分）
22n??1(mod4)n?x?yn 证明 设是正数,并且, 如果,则因为对于模
2222x,yx?y?0,1,2(mod4), x,y4,只与0,1,2,-1等同余,所以只能与0,1同余,所以
而这与n??1(mod4)的假设不符, 即定理的结论成立.
初等数论考试试卷二
一、单项选择题
1、(0,b)?（ ）.A b B ?b C b D 0
2、如果(a,b)?1，则(ab,a?b)=（ ）.A a B b C 1 D a?b
3、小于30的素数的个数（ ）.A 10 B 9 C 8 D 7
4、如果a?b(modm),c是任意整数,则A ac?bc(modm) B a?b C ac?bc(modm) D a?b
5、不定方程525x?231y?210（ ）.A 有解 B 无解 C 有正数解 D 有负数解 6、整数5874192能被( )整除.A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 7、如果ba，ab，则( ).A a?b B a??b C a?b D a??b
8、公因数是最大公因数的（ ）.A 因数 B 倍数 C 相等 D不确定 9、大于20且小于40的素数有（ ）.A 4个 B 5个 C 2个 D 3个
10、模7的最小非负完全剩余系是( ).A -3，-2,-1,0,1,2，3 B -6，-5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5，6 D 0,1,2,3,4，5，6
11、因为( ),所以不定方程12x?15y?7没有解.A [12，15]不整除7 B （12，15）不整除7
C 7不整除（12，15） D 7不整除[12，15]12、同余式x2?438(mod593)（ ）. A 有解 B 无解 C 无法确定 D 有无限个解 二、填空题
a，0?a?b,(a,b)?1，能写成循环小数的条件是（ ）. b2、同余式12x?15?0(mod45)有解，而且解的个数为( ).
1、有理数
3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为( ).
4、设n是一正整数，Euler函数?(n)表示所有( )n，而且与n（ ）的正整数的个数. 5、设a,b整数，则(a,b)（ ）=ab.
6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的（ ）数码的和能被3整除. 7、x?[x]?（ ）.
)有解,而且解的个数( ). 8、同余式111x?75(mod3219、在176与545之间有( )是17的倍数.
10、如果ab?0,则[a,b](a,b)=( ). 11、a,b的最小公倍数是它们公倍数的( ). 12、如果(a,b)?1,那么(ab,a?b)=( ).
三、计算题
1、求24871与3468的最小公倍数?
2、求解不定方程107x?37y?25.（8分） 3、求??429??,其中563是素数. （8分） 563??).（8分） 4、解同余式111x?75(mod3215、求[525,231]=?
6、求解不定方程6x?11y?18.
7、判断同余式x2?365(mod1847)是否有解？ 8、求11的平方剩余与平方非剩余.
四、证明题
1、任意一个n位数anan?1?a2a1与其按逆字码排列得到的数a1a2?an?1an的差必是9的倍数.（11分）
2、证明当n是奇数时，有3(2n?1).（10分）
3、一个能表成两个平方数和的数与一个平方数的乘积,仍然是两个平方数的和;两个能表成两个平方数和的数的乘积,也是一个两个平方数和的数.（11分） 4、如果整数a的个位数是5,则该数是5的倍数.
5、如果a,b是两个整数,b?0,则存在唯一的整数对q,r,使得a?bq?r,其中0?r?b.