如果
n?x2?y2, ---------（1分）
则因为对于模4,x,y只与0,1,2,-1等同余, 所以x,y只能与0,1同余, 所以
22x2?y2?0,1,2(mod4), ---------（4分）
而这与n??1(mod4)的假设不符, ---------（2分） 即定理的结论成立. ------（1分） 一、单项选择题
1、(0,b)?（C ）.A b B ?b C b D 0
2、如果ba，ab，则(D ).A a?b B a??b C a?b D a??b 3、如果(a,b)?1，则(ab,a?b)=（C ）.A a B b C 1 D a?b 4、小于30的素数的个数（A ）.A 10 B 9 C 8 D 7
5、大于10且小于30的素数有（ C ）.A 4个 B 5个 C 6个 D 7个 6、如果3n，5n，则15（A ）n.A 整除 B 不整除 C 等于 D不一定 7、在整数中正素数的个数（C ）.A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定 二、计算题
1、 求24871与3468的最大公因数?
解： 24871=3468?7+595 3468=595?5+493 595=493?1+102 493=102?4+85
102=85?1+17 85=17?5,所以,(24871,3468)=17. 2、 求[24871,3468]=?
解：因为（24871,3468）=17 所以 [24871,3468]= 5073684。
3、求[136,221,391]=?
解： [136,221,391]=[[136,221],391]=[=
24871?3468=5073684 所以24871与3468的最小公倍数是
17136?221,391]=[1768,391] 171768?391=104?391=40664.
17三、证明题
1、如果a,b是两个整数,b?0,则存在唯一的整数对q,r,使得a?bq?r,其中0?r?b. 证明 ：首先证明唯一性.设q?,r?是满足条件的另外整数对,即
a?bq??r?,0?r??b.
所以bq??r??bq?r,即b?q??q??r?r?,bq??q?r?r?.又由于
0?r?b,0?r??b,所以r?r??b.如果q?q?,则等式bq??q?r?r?不可能成立.
因此q?q?,r?r?.
其次证明存在性.我们考虑整数的有序列
??,?3b,?2b,?b,0,b,2b,3b,??
则整数a应介于上面有序列的某两数之间,即存在一整数q使
qb?a??q?1?b.
我们设r?a?qb,则有a?bq?r,0?r?b.
nn2n3?2、证明对于任意整数n,数?是整数. 3261nn2n3n2?证明： 因为?=(2?3n?n)=n(n?1)(n?2),
63266而且两个连续整数的乘积是2的倍数,3个连续整数的乘积是3的倍数,
并且(2,3)=1, 所以从2n(n?1)(n?2)和3n(n?1)(n?2)有6n(n?1)(n?2),
nn2n3?即?是整数.
326
3、任意一个n位数anan?1?a2a1与其按逆字码排列得到的数a1a2?an?1an的差必是9的倍数.
证明： 因为
anan?1?a2a1?an?10n?1?an?1?10n?2???a2?10?a1, a1a2?an?1an=a1?10n?1?a2?10n?2???an?1?10?an,
所以,anan?1?a2a1-a1a2?an?1an=
an?(10n?1?1)?an?1?10(10n?3?1)???a2?10(1?10n?3)?a1(1?10).n?1
而上面等式右边的每一项均是9的倍数, 于是所证明的结论成立.
4、证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数.
证明: 设相邻两个偶数分别为2n,(2n?2) 所以2n(2n?2)=4n(n?1) 而且两个连续整数的乘积是2的倍数 即4n(n?1)是8的倍数.
一、单项选择题
1、如果( A ),则不定方程ax?by?c有解. A (a,b)c B c(a,b) C ac D (a,b)a 2、不定方程525x?231y?210（A ）.
A 有解 B 无解 C 有正数解 D 有负数解 二、求解不定方程 1、9x?21y?144.
解：因为（9，21）=3，3144，所以有解；
化简得3x?7y?48；
考虑3x?7y?1，有x??2,y?1， 所以原方程的特解为x??96,y?48， 因此，所求的解是x??96?7t,y?48?3t,t?Z。
2、6x?17y?18.
解：因为 (6,17)18,所以有解; 考虑6x?17y?1,x?3,y?1; 所以x?54,y?18是特解, 即原方程的解是
x?54?17t,y?18?6t
3、107x?37y?25.
解：因为（107，37）=125，所以有解；
考虑107x?37y?1，
有x?9,y??26，
所以，原方程特解为x?9?25=225，y??26?25=-650， 所以通解为x?225?37t,y??650?107t
4.求不定方程25x?13y?7z?4的整数解.
解 我们将它分为两个二元一次不定方程来求解
25x+13y=t, t+7z=4.
利用求二元一次不定方程的方法,因为
25(-t)+13(2t)= t, 32+7?(-4)=4,
所以,上面两个方程的解分别为
?t?32?7k2?x??t?13k1 , ?. ?z??4?ky?2t?25k2?1?消去t就得到所求的解
?x??32?13k1?7k2??y?64?25k1?14k2, ?z??4?k2?这里k1,k2是任意整数.
5.求不定方程4x?9y?5z?8的整数解.
解 我们将它分为两个二元一次不定方程来求解
4x-9y=t, t+5z=8.
利用求二元一次不定方程的方法,因为
4(-2t)-9(-t)= t, 48+5?(-8)=8,
所以,上面两个方程的解分别为
?t?48?5k2?x??2t?9k1 , ?. ?z??8?k2??y??t?4k1消去t就得到所求的解
?x??96?9k1?10k2??y??48?4k1?5k2, ?z??8?k2?这里k1,k2是任意整数.
一、选择题
1、整数5874192能被( B )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 2、整数637693能被(C )整除. A 3 B 5 C 7 D 9
3、模5的最小非负完全剩余系是( D ).
A -2,-1,0,1,2 B -5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5 D 0,1,2,3,4 4、如果a?b(modm),c是任意整数,则（A ）
A ac?bc(modm) B a?b C ac?bc(modm) D a?b
二、解同余式（组） （1）45x?21(mod132).
解 因为(45,132)=3|21,所以同余式有3个解.
将同余式化简为等价的同余方程15x?7(mod44).我们再解不定方程15x?44y?7,
得到一解(21,7).于是定理4.1中的x0?21.因此同余式的3个解为
x?21(mod132),
x?21?1323(mod132)?65(mod132), x?21?2?1323(mod132)?109(mod132).
（2）12x?15?0(mod45)
解 因为(12,45)=3|15,所以同余式有解,而且解的个数为3. 又同余式等价于4x?5?0(mod15),即4x?5?15y. 我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是(10,3), 即定理4.1中的x0?10. 因此同余式的3个解为
x?10(mod45), x?10?453(mod45)?25(mod45), x?10?2?453(mod45)?40(mod45).
（3）111x?75(mod321). 解 因为(111,321)=3|75,所以同余式有3个解.
将同余式化简为等价的同余方程37x?25(mod107).
我们再解不定方程37x?107y?25,得到一解(-8,3).
于是定理4.1中的x0??8. 因此同余式的3个解为x??8(mod321), x??8?3213(mod321)?99(mod321), x??8?2?3213(mod321)?206(mod321).