浙江省2009高考联考数学模拟试题分类锦萃
2y12y2??y1y2?0 ∵OA?OB?x1x2?y1y2?22∴y1y2=-4， ∴b+2k=0 ① 11分 又点O到直线l距离为2得
bk?12?2 ② 13分
由①②解得k=1,b=-2或k=-1,b=2，
所以直线l的方程为y=x-2或y=-x+2 4．（金丽衢十二校高三第一次联考数学试卷（理科）） （本题满分16分）
已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A(?2,0)、B(2,0)、C?1,?三点．
（1）求椭圆E的方程：
（2）若点D为椭圆E上不同于A、B的任意一点，F(?1,0),H(1,0)，当?DFH内切圆的面积最大时。求内切圆圆心的坐标；
（3）若直线l:y?k(x?1)(k?0)与椭圆E交于M、N两点，证明直线AM与直线
?3??2?BN的交点在直线x?4上．
4．解析：（1）设椭圆方程为mx?my?1(m?0,n?0),
将A(?2,0)、B(2,0)、C(1,)代入椭圆E的方程，得
2232?4m?1,11?解得m?,n?. ?943m?n?1??4x2y2??1 ∴椭圆E的方程43 （4分）
（2）|FH|?2，设?DFH边上的高为S?DFH?
1?2?h?h 2当点D在椭圆的上顶点时，h最大为3，所以S?DFH的最大值为3． 设?DFH的内切圆的半径为R，因为?DFH的周长为定值6．所以
1R?6?S?DFH， 2 浙江省2009高考联考数学模拟试题分类锦萃
所以R的最大值为
33．所以内切圆圆心的坐标为(0,)
33 （10分）
x2y2??1并整理． （3）法一：将直线l:y?k(x?1)代入椭圆E的方程43得(3?4k2)x2?8k2x?4(k2?3)?0． 设直线l与椭圆E的交点M(x1,y1),N(x2,y2)，
14(k2?3),x1x2?由根系数的关系，得x1?x2?． 223?4k3?4k直线AM的方程为：y?y1(x?2)，它与直线x?4的交点坐标为 x1?2p(4,6y12y2),同理可求得直线BN与直线x?4的交点坐标为Q(4,)． x1?2x2?2下面证明P、Q两点重合，即证明P、Q两点的纵坐标相等：
?y1?k(x1?1),y2?k(x2?1)，
?6y12y26k(x1?1)?(x2?2)?2k(x2?1)(x1?2) ??x1?2x2?2(x1?2)(x2?2)?8(k2?3)40k2?2k???8?3?4k23?4k22k[2x1x2?5(x1?x2)?8]???0
??(x1?2)(x2?2)(x1?2)(x2?2)因此结论成立．
综上可知．直线AM与直线BN的交点住直线x?4上．
法二：直线AM的方程为：y?
（16分）
y1k(x1?1)(x?2),即y?(x?2) x1?2x1?2y2k(x2?1)(x?2)，即y?(x?2) x2?2x2?2由直线AM的方程为：y?由直线AM与直线BN的方程消去y，得
x?2(x1x2?3x1?x2)2[2x1x2?3(x1?x2)?4x2]?
x1?3x2?4(x1?x2)?2x2?4 浙江省2009高考联考数学模拟试题分类锦萃
?8(k2?3)24k2??4k2?6?2???4x4??x2??2?3?4k23?4k23?4k2?????4 ??8k24k2?62?4?2x2??x223?4k3?4k∴直线AM与直线BN的交点在直线x?4上．
5．（宁波市2008学年度第一学期期末试卷高三数学(理科)）
（本题15分）如图，椭圆长轴端点为A,B，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点,
且AF?FB?1，OF?1．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于P,Q两点，问：是否存在直线l，使点F恰为?PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程;若不存在，请说明理由. 5解：（1）如图建系，设椭圆方程为
x2y2?2?1(a?b?0),则c?1 2ab又∵AF?FB?1即 ∴a2(a?c)?(a?c)?1?a2?c2
?2
x2故椭圆方程为?y2?1 …………6分
2 （2）假设存在直线l交椭圆于P,Q两且F恰为?PQM的垂心，则 设
点，
P(x1,y1),Q(x2,y2)，∵
M(0,1),F(1,0)，故kPQ?1， ……8分
?y?x?m于是设直线l为 y?x?m，由?2得 2x?2y?2?3x2?4mx?2m2?2?0 …………………………………10分
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????????∵MP?FQ?0?x1(x2?1)?y2(y1?1) 又yi?xi?m(i?1,2)
得x1(x2?1)?(x2?m)(x1?m?1)?0 即
2x1x2?(x1?x2)(m?1)?m2?m?0 由韦达定理得 2m2?24m2??(m?1)?m2?m?0
33解得m??
6．（宁波文（本题15分））如图，椭圆长轴端点为A,B,O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点,
且AF?FB?1，OF?1.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程；
(Ⅱ)记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于
44或m?1（舍） 经检验m??符合条件………15分 33P,Q两点，问：是否存在直线l，使点F恰为
?PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程;若
不存在，请说明理由.
x2y26 解：（1）设椭圆方程为2?2?1(a?b?0)
ab由题意c?1 又∵AF?FB?1即
2y M A (a?c)?(a?c)?1?a2?c2
O F B x x2?y2?1 …………6分 ∴a?2 故椭圆方程为2 （2）假设存在直线l交椭圆于P,Q两点，且F恰为?PQM的垂心，则 设P(x1,y1),Q(x2,y2)，∵M(0,1),F(1,0)，故 kPQ?1 ……………8分 于是设直线l为 y?x?m，由??y?x?m得 22?x?2y?2 浙江省2009高考联考数学模拟试题分类锦萃
3x2?4mx?2m2?2?0 …………10分 ????????∵MP?FQ?0?x1(x2?1)?y2(y1?1) 又yi?xi?m(i?1,2)
得x1(x2?1)?(x2?m)(x1?m?1)?0 即
2x1x2?(x1?x2)(m?1)?m2?m?0 由韦达定理得 2m2?24m2??(m?1)?m2?m?0
33解得m??44或m?1（舍） 经检验m??符合条件 334………15分 3则直线l的方程为:y?x?
7（本题满分15分）如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为点M(4,1). 直线l:y?x?m交椭圆于A,B两不同的点. (1)求椭圆的方程;3，且经过2
(3)若直线l不过点M,求证:直线MA，MB与x轴围成一个等腰三角形.y (2)求m的取值范围; 7．
M O B l x A x2y23解:(1)设椭圆方程为2?2?1,因为e?,所以a2?4b2,2ab161………………5分
又椭圆过点M(4,1),所以2?2?1,解得b2?5,a2?20,abx2y2故椭圆方程为??1.205
x2y2(2)将y?x?m代入??1并整理得5x2?8mx?4m2?20?0.
205??(8m)2?20(4m2?20)?0,得?5?m?5.………………10分