浙江省2009高考联考数学模拟试题分类锦萃
(3)设直线MA,MB斜率分别为k1和k2,只要证k1?k2?0.8m4m2?20设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1?x2??,x1x2?. 55y?1y2?1(y1?1)(x2?4)?(y2?1)(x1?4)k1?k2?1??x1?4x2?4(x1?4)(x2?4)分子?(x1?m?1)(x2?4)?(x2?m?1)(x1?4)?2x1x2?(m?5)(x1?x2)?8(m?1)2(4m2?20)8m(m?5)???8(m?1)?0,55因此MA,MB与x轴所围的三角形为等腰三角形.
21．（本小题满分15分）设F(1,0)，点M在x轴上，点P在 y轴上，且
………………12分
………………15分
MN?2MP,PM?PF
（1）当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹C的方程；
（2）设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3)是曲线C上的点，且|AF|,|BF|,|DF|成等差数列，当AD的垂直平分线与x轴交于点E(3,0)时，求B点坐标.
?????????y21．解：（1）设N(x,y)，则由MN?2MP得P为MN中点，所以M(?x,0),P(0,)
2?????????yy 又PM?PF得PM?PF?0，PM?(?x,?),PF?(1,?)，
222所以y?4x（x?0）. ………………6分
（2）由（1）知F(1,0)为曲线C的焦点，由抛物线定义知，抛物线上任一点P0(x0,y0)到F
p， 2ppp所以|AF|?x1?,|BF|?x2?,|DF|?x3?，
222的距离等于其到准线的距离，即|P0F|?x0?根据|AF|,|BF|,|DF|成等差数列，得x1?x3?2x2， ………………10分 直线AD的斜率为
y3?y1y?y14?23?， 2x3?x1y1?y3y3y?144y1?y3(x?3)， ………………12分 4所以AD中垂线方程为y??又AD中点(x1?x3y1?y3x?x,)在直线上，代入上式得13?1，即x2?1，
222 浙江省2009高考联考数学模拟试题分类锦萃
所以点B(1,?2). ………………15分
1.（(2008学年第一学期十校高三期末联考数学试题（理）)本小题满分15分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-1, 0)、B(1, 0), 动点C满足 条件：△ABC的周长为2＋22.记动点C的轨迹为曲线W. (Ⅰ) 求W的方程；
(Ⅱ) 经过点（0, 2）且斜率为k的直线l与曲线W 有两个不同的交点P和Q，求k 的取值范围；
???????? (Ⅲ)已知点M（2，0），N（0, 1），在(Ⅱ)的条件下，是否存在常数k，使得向量OP?OQ
????? 与MN共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由． 解： (Ⅰ) 设C（x, y）,
∵ AC?BC＋AB?2?22, AB?2, ∴ AC?BC?22?2,
∴ 由定义知，动点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为22的椭圆除去与x轴的两个交点. ∴ a?2, c=1. ∴ b2?a2?c2?1.
2x∴ W: . …………………………………………… 5分 ?y2?1 (y?0)22x(Ⅱ) 设直线l的方程为y?kx?2，代入椭圆方程，得?(kx?2)2?1. 2 整理，得(1?k2)x2?22kx?1?0. ①………………………… 7分
2 因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于 12或2. ??8k2?4(?k2)?4k2?2?0，解得k??k?222（??,?∴ 满足条件的k的取值范围为 k?22)?(,??)………… 10分 22????????（Ⅲ）设P（x1,y1）,Q(x2,y2),则OP?OQ＝（x1+x2，y1+y2),
由①得x1?x2??42k2. ②
1?2k 又y1?y2?k(x1?x2)?22 ③
?????因为M(2, 0)，N(0, 1)， 所以MN?(?2, 1).……………………… 12分
?????????????所以OP?OQ与MN共线等价于x1?x2=-2(y1?y2).
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将②③代入上式，解得k?2. 2?????????????所以不存在常数k，使得向量OP?OQ与MN共线. ……………………15分
2．(2008学年第一学期十校高三期末联考数学试题（文）)（15分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-1, 0)、B(1, 0), 动点C满足条件：△ABC的周长为2＋22.记动点C的轨迹为曲线W. (Ⅰ)求W的方程；
(Ⅱ)经过点（0, 2）且斜率为k的直线l与曲线W 有两个不同的交点P和Q， 求k的取值范围；
????????（Ⅲ）已知点M（2，0），N（0, 1），在(Ⅱ)的条件下，是否存在常数k，使得向量OP?OQ
?????与MN共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由. 解(Ⅰ) 设C（x, y）,
∵ AC?BC＋AB?2?22, AB?2, ∴ AC?BC?22?2,
∴ 由定义知，动点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为22的椭圆除去与x轴的两个交点. ∴ a?2, c=1. ∴ b2?a2?c2?1.
2∴ W: x?y2?1 (y?0). …………………………………………… 5分
22x(Ⅱ) 设直线l的方程为y?kx?2，代入椭圆方程，得?(kx?2)2?1. 2 整理，得(1?k2)x2?22kx?1?0. ①………………………… 7分
2 因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于 2或2. 1??8k2?4(?k2)?4k2?2?0，解得k??k?222∴ 满足条件的k的取值范围为 k?（??,?22)?(,??)………… 10分 22????????（Ⅲ）设P（x1,y1）,Q(x2,y2),则OP?OQ＝（x1+x2，y1+y2),
由①得x1?x2??42k2. ②
1?2k 又y1?y2?k(x1?x2)?22 ③
?????因为M(2, 0)，N(0, 1)， 所以MN?(?2, 1).……………………… 12分
?????????????所以OP?OQ与MN共线等价于x1?x2=-2(y1?y2).
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将②③代入上式，解得k?2.
2?????????????所以不存在常数k，使得向量OP?OQ与MN共线. ……………………15分 3.(温州市十校2008学年高三第一学期期初联考 数学试题（文）)2008年北京奥运会中国跳y水梦之队取得了辉煌的成绩。
3m据科学测算，跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，
身体（看成一点）在空中的运动轨迹（如图所示）是
o一经过坐标原点的抛物线（图中标出数字为已知条件）， 且在跳某个规定动作时，正常情况下运动员在空中的最
跳2高点距水面10米，入水处距池边4米，同时运动员在
台3距水面5米或5米以上时，必须完成规定的翻腾动作， 10m并调整好入水姿势，否则就会出现失误。 （1）求抛物线的解析式；
（2）在某次试跳中，测得运动员在空中
的运动轨迹为（1）中的抛物线，且运动员在空中
x支柱3调整好入水姿势时距池边的水平距离为3米，问
5池边1m此次跳水会不会失误？请通过计算说明理由； （第3题图）
（3）某运动员按（1）中抛物线运行，要使得此次跳水成功，他在空中调整好入水姿势
时，距池边的水平距离至多应为多大？ 解：（1）由已知可设抛物线方程为y?a(x?h)?22(其中a?0,h?0) 3 又抛物线过（0，0）和（2，-10） （2分）
25?a????6代入解得?，
2?h??5?25210x?x （5分） 63338（2）当运动员在空中距池边的水平距离为3米时，即x?3?2?时，
55525810816y???()2???? （7分）
653531614??5，故此次跳水会出现失误 （10分） 所以此时运动员距水面距离为10?3325210x?x??5 （3）要使得某次跳水成功，必须10?y?5,即y??5,亦即y??63 解不等式得2?34?x?2?34 所以运动员此时距池边的水平距离最大为y 2?2?34?4?34米。 （15分）
所以解析式为：y??4.（浙江省09年高考省教研室第一次抽样测试数学试题
A M O l x B （第4题图） 浙江省2009高考联考数学模拟试题分类锦萃
y2??2px(p?0)上横坐标为?3的一点，与其焦点的距离为4.（1）
求p的值；（2）设动直线y?x?b与抛物线C相交于A、B两点，问在直线l:y?2上是否存在与b的取值无关的定点M，使得?AMB被直线l平分？若存在，求出点M的坐标；若不
（理））已知抛物线C:存在，说明理由.
p?4,?p?0,?p?2 2（2）令A?x1,y1?,B?x2,y2?，设存在点M(a,2)满足条件，由已知得KAM?KBM，即有
解析：（1）由已知得?3?y1?2y2?2y12y22；整理得??0,x1??,x2??x1?ax2?a44?y?x?b得y2?4y?4b?0，y1y2(y1?y2)?4a(y1?y2)?2(y?y2)?16a?0；由?2?y??4x即y1?y2??4,y1y2??4b有?4b?(?4)?4a(?4)?2[(?4)2?8b]?16a?0，?a??1，因此存在点M（?1,2）满足题意.
2125．（宁波市2008学年度第一学期高三期末数(文理)）（本题15分）如图，椭圆长轴端点为
A,B,O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点,
且AF?FB?1，OF?1.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程；
(Ⅱ)记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于
P,Q两点，问：是否存在直线l，使点F恰为
?PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程;若
不存在，请说明理由.
x2y2解：（1）设椭圆方程为2?2?1(a?b?0)
ab由题意c?1 又∵AF?FB?1即
2y (a?c)?(a?c)?1?a2?c2
2M A x∴a?2 故椭圆方程为?y2?1 …………6分
2O F B x （2）假设存在直线l交椭圆于P,Q两点，且F恰为?PQM的垂心，则 设P(x1,y1),Q(x2,y2)，∵M(0,1),F(1,0)，故 kPQ?1 ……………8分（第5题）
?y?x?m于是设直线l为 y?x?m，由?2得 2?x?2y?23x2?4mx?2m2?2?0 …………10分
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????????∵MP?FQ?0?x1(x2?1)?y2(y1?1) 又yi?xi?m(i?1,2)
得x1(x2?1)?(x2?m)(x1?m?1)?0 即
2x1x2?(x1?x2)(m?1)?m2?m?0 由韦达定理得 2m2?24m2??(m?1)?m2?m?0
33解得m??44或m?1（舍） 经检验m??符合条件 334………15分 3则直线l的方程为:y?x?