稳定的电磁场分布，对应着光学谐振腔的一系列本征态。其中包含着模式自再现物理思想。不同的纵模相应于不同的q值，对应不同的频率。不同的横模，对应于不同的横向稳定的光场分布和频率。对纵模要求电磁场在频域上满足由驻波条件所要求的谐振条件，对横模要求损耗小，主要是衍射损耗。
26. 谐振腔腔长L＝1m，介质折射率n＝1，两腔镜反射系数分别为r1＝1，r2＝0.99，求
1500MHz线宽内包含的纵模个数。
27. R?100cm，L?40cm的对称腔，相邻纵模的频率差为多少？
28. 若法卜里—珀罗平面干涉仪的腔长为4.5cm，它的自由谱宽为多少，能否分辨
??6?10?4mm，??=0.01nm的HeNe激光谱线？
29. Fox-Li的数值迭代法解平行平面镜谐振腔，有哪些结论，有哪些意义？
解题思考：
关键概念：平行平面镜谐振腔、Fox-Li的数值迭代法 答：主要结论有：
(1). 镜面上的振幅分布为中央强边缘弱，偶对称； (2). 镜面上的相位不是等相位面分布；
(3). 单程相移由几何相移和与横模相关的附加相移构成； (4). 谐振频率不只由腔长决定，还与横模相关。 主要意义有：
(1). 首次得到模式，证明模式自再现思想的正确性；它逐次近似计算直接求出了一系列自再现模，从而第一次证明了开腔模式的存在性，并从数学上论证了开腔自再现模积分方程解的存在性；
(2). 迭代一次，光在腔内传播一次，是个针对光传输的精确计算方法；数学运算过程与模在腔中往返传播而形成自再现模的物理过程相对应，能加强理解自再现模形成的物理过程；
(3). 原则上可应用于任何腔型的自再现模计算，利用标准化计算机程序可以求得任意精确度的数值解，具有普遍适用性。
30. 稳定球面谐振腔旁轴光线的单程相对功率损耗1-1/γ2，它与单程衍射损耗因子之间有
何关系？
31. 试由方形镜共焦腔内行波场，导出腔内等相位面表示。 32. 同一个光学谐振腔中的不同横模，有什么异同？
解题思考：
关键概念：横模、谐振腔积分本征方程
答：同一个光学谐振腔中不同横模的相同点有，都是谐振腔积分本征方程的本征解，都是旁轴传输的电磁波在谐振腔中经反复衍射损耗形成的稳定的光电场的稳定分布。同一横模的不同模斑具有反相或同相的相位。
同一个光学谐振腔中不同横模的不同点有，光斑形状、大小以及光电场偏振方向，另外，相位无固定关系。
33. 高阶横模的不同模斑若相遇，能否干涉，为什么？
解题思考：
关键概念：横模、横模的相位关系
答：同一高阶横模的不同模斑间，具有反相或同相的固定的相位关系。若相遇，则干涉相消或加强。
不同高阶横模，相位无固定关系。若相遇，不会干涉。 34. 分别由方形镜和圆形镜组成的稳定谐振腔有没有区别，为什么？
解题思考：
关键概念：方形腔镜、圆形腔镜、稳定腔、等价对称共焦腔
2πa2?2πN 关键公式： C?L?a2N?
L?答：有区别。区别主要表现在两者的模式场解上。虽然两者在模式光束形状、等相位面的曲率半径及光束发散角等方面有相同的表达式，但却存在以下明显的区别： （1）模斑形状
方形镜对称共焦腔模式场强的解主要由角向长椭球函数这种特殊函数构成，在腔的菲涅尔数N值较大的情况下可以近似为厄米多项式的形式，具有x轴和y轴对称性。圆形镜对称共焦腔模式场强的解主要由超椭球函数构成，在腔的菲涅尔数N值较大的情况下，可以近似表示为拉盖尔多项式的形式，具有圆对称性。
无论是方形镜或者是圆形镜组成的稳定谐振腔，其模式场模斑形状军营与其等价的对称共焦腔的模式场相似，所以，方形镜和圆形镜稳定腔模斑形状的区别，应为具有x轴和y轴对称性的厄米多项式模斑形状，与具有圆对称性的拉盖尔多项式模斑形状的区别。 （2）模式频率
方形镜对称共焦腔模式场对应相位的幅角解为：
(m?n?1)?πkL 2各阶横模的谐振频率为：?mnq?c1?[q?(m?n?1)] 2?L2圆形镜对称共焦腔模式场对应相位的幅角解为：
(2p?l?1)π?kL 2各阶横模的谐振频率为：?plq?c1[q?(2p?l?1)] 2?L2因稳定谐振腔与其等价的对称共焦腔在模式场上的相似性，方形镜和圆形镜组成的稳定谐振腔的模式频率，也应有类似的区别。 35. 能否得到稳定腔横模的解析表示，为什么？ 36. 为什么说对称共焦腔非常重要？
解题思考：
关键概念：稳定腔、共焦腔、对称共焦腔、等价对称共焦腔
答：对称共焦腔的衍射积分本征方程，有解析解，因此其腔内行波场有解析函数表示，相关模式特征和形貌明确。稳定腔是一类常用的激光器腔型，但其衍射积分本征方程一直未能获得解析解，所以，其腔内行波场的模式特征和形貌不似对称共焦腔中那样能依靠解析解来获得明确的描述。等价对称共焦腔的存在，使得稳定腔内行波场的模式特征和形貌，能够通过与其等价的对称共焦腔的解析解，来获得较为明确的描述，可见对称共焦腔对于激光器的研制工作具有非常高的重要性。
37. 如果使用一个参数描述稳定谐振腔的衍射损耗大小，你愿意用哪个，为什么？
解题思考：
关键概念：稳定腔、衍射损耗、损耗描述参数
2πa2?2πN 关键公式： C?L?a2N?
L?答：可以描述稳定谐振腔中衍射损耗大小的参数有谐振腔单程损耗因子、平均光子寿命、Q参数、纵模线宽及菲涅尔数等参数。如果须使用一个参数来描述稳定谐振腔的衍射损耗大小，我愿意使用菲涅尔数。这是因为稳定谐振腔中光电场本征函数解相对
应本征值的模，直接决定稳定谐振腔对应模式的衍射损耗，而该模函数为径向长椭球函数，函数的自变量C为：
2πa2C??2πN
L?它与菲涅尔数：
a2N?
L?成正比。
38. 腔长L=1m的双凹稳定腔，两腔镜的半径分别为R1＝1.5m，R2＝3m，求其等效共焦
腔的腔长，并画出等效共焦腔的位置。 解题思考：
关键概念：稳定腔、等价对称共焦腔 关键公式：0?g1g2?1
L?g?1??1R1? ??g?1?L2?R2??L(R2?L)Lg2(g1?1)z???1(L?R2)?(L?R1)g1?g2?2g1g2???L(R1?L)?Lg1(g2?1)???z2?(L?R2)?(L?R1)g1?g2?2g1g2??L(R2?L)(R1?L)(R1?R2?L)g1g2(1?g1g2)L22?F??2?[(L?R2)?(L?R1)](g1?g2?2g1g2)2?
L1?g?1???1R3?1解： ?
?g?1?L?22?R23?20?g1g2(?)?1
9该双凹腔为稳定腔。因此，可以该双凹稳定腔的等价对称共焦腔中心为坐标原点、以双凹镜面中心连线为z轴建立坐标系。假设该双凹镜在该坐标系中的坐标分别为z1和z2，等价对称共焦腔的腔长L’为2F。
?Lg2(g1?1)?z1?g1?g2?2g1g2???Lg1(g2?1)?z?由：?2
g?g?2gg1212??g1g2(1?g1g2)L22?F?2(g?g?2gg)??12124?z????0.8(m)?15?1?得：?z2??0.2(m)5??2142?F?45(m)?
L'?2F?214?1.12(m)45等效共焦腔腔镜的位置如下图虚线所示：
R1 -0.8 -0.558 R2 ? 0 0.2 0.558 z
39. 方形孔径共焦腔氦氖激光器，腔长L=30cm，腔镜反射率分别为r1＝1，r2＝0.96，方
形孔边长d=2a=0.12cm，其它损耗以每程0.003计，工作波长?=632.8nm。此激光器能否作单模运转？如果想在共焦镜面附近加一个方形小孔阑来选择
TEM00模，小孔
egl?1?3?10?4的边长应为多大？试根据公式长度。
0ld估算氦氖增益，l为增益介质放电管
解题思考：
关键概念：横模、纵模、横模模斑半径、纵模频率、纵模频率间隔、损耗、增益、单模
关键公式：?腔镜?11ln 2r1r2?总=??i
i