?os=L?? ???ms=2m?1?os????ns=2n?1?os
关键思路：增益大于损耗、孔阑大于模斑半径的模式能振荡运转 解：?腔镜?1111?ln?0.02 ln2r1r220.96?总=??i?0.02?0.003?0.023
ig0l?ln(1?3?10?4l0.30)?ln(1?3?10?4)?0.0723d0.0012
可见，若不考虑孔阑的作用，腔内光获得的增益大于损耗，能振荡运转。 基横模镜面模斑半径?os=一阶横模镜面模斑半径
L???0.30?632.8?10?9?=2.46?10?4(m)?0.246mm
?1s=2m?1?os?2?1+1?2.46?10?4?4.26?10?4(m)?0.426mm
方形孔边长d=2a=1.2cm，大于一阶横模在镜面上的模斑直径2?1s，在不附加选横模措施的情况下，此激光器应不会作单横基模运转。
若以在共焦镜面附近加一个方形小孔阑来作选TEM00模措施，孔阑边长S须超过基横模镜面模斑直径2?os保证基横模即可振荡运转，同时又小于一阶横模镜面模斑直径2?1s来阻止一阶以上的高阶横模振荡运转。所以，要求单横模运转的选模孔阑边长S的取值范围应为：0.492mm?S?0.852mm
40. 腔长L的对称双凹腔，反射镜曲率半径为R=2.5L，工作波长为?，求镜面上的基模高
斯光束的光斑半径。
41. 今有一平面反射镜和一曲率半径为R=1m的凹面反射镜，问：应如何构成一平-凹稳定
腔以获得最小的基模远场角；画出光束发散角与腔长L的关系曲线。 解题思考：
关键概念：稳定腔、等价对称共焦腔 关键公式：
2?1/e2(R1?R2?2L)2??(g1?g2?2g1g2)21/41/4?2[]?2[]
?L(R1?L)(R2?L)(R1?R2?L)?Lg1g2(1?g1g2)0?g1g2?1
L?g?1??1R1? ??g?1?L2?R2?解：假设该平面反射镜和凹面反射镜组成的平凹稳定腔腔长为L。
L?g?1??1?1R1? ??g?1?L?1?L2?R2?稳定腔要求：
0?g1g2(?1?L)?1即：0?L?1
该稳定腔的等价对称共焦腔的基模远场角：
2?1/e2?(g1?g2?2g1g2)21/4??2[]??Lg1g2(1?g1g2)?42 L(1?L)光束发散角与腔长L的关系曲线如下图所示：
将其视为腔长L的函数。 由：
d2?1/e2dL得：
??1?1?2L?0 5/42?[L(1?L)]L?0.5(m)
而：
d2(2?1/e2)d2LL?0.5?4L[L(1?L)]5/4?2.5(1?2L)[L(1?L)]1/4??[L(1?L)]5/2?0
L?0.5所以，最小的基模远场角为：
2?1/e2L?0.5???42L(1?L)?2L?0.52?? 42. 试导出如下腔型所对应的共轭共焦腔结构和输出光参数。
L=0.3m R=1m
解题思考：
关键概念：稳定性条件、稳定腔、共轭共焦腔、等价对称共焦腔，输出光参数：束腰大小和位置、发散角 关键公式：0?g1g2?1
L?g?1??1R1? ??g?1?L2?R2??L(R2?L)Lg2(g1?1)?z1??(L?R2)?(L?R1)g1?g2?2g1g2???L(R1?L)?Lg1(g2?1)?z2??(L?R2)?(L?R1)g1?g2?2g1g2??g1g2(1?g1g2)L2?2L(R2?L)(R1?L)(R1?R2?L)??F?2[(L?R2)?(L?R1)](g1?g2?2g1g2)2???L(R1?L)(R2?L)(R1?R2?L)1/4?Lg1g2(1?g1g2)1/4??0?[]?[]22?(R1?R2?2L)?(g1?g2?2g1g2)?
?(R1?R2?2L)2?(g1?g2?2g1g2)21/41/4?2???[]?2[]1/e2??L(R?L)(R?L)(R?R?L)?Lgg(1?gg)?12121212L?g?1??0.7?1R?1解： ?
L?g?1??12?R2?0?g1g2(?0.7)?1
可见，如图腔型为稳定腔。 共轭共焦腔即对称共焦腔。
因此，可以该腔型腔镜面中心连线为z轴以其等价对称共焦腔中心为坐标原点建立坐标系，同时假设该腔型的两腔镜在该坐标系中的坐标分别为z1和z2，等价对称共焦腔的腔
长为2F，束腰为?0，全发散角为2?1/e2。
Lg2(g1?1)?z??1g?g?2gg??0.3(m)1212??Lg1(g2?1)?z??2g?g?2gg?01212??2g1g2(1?g1g2)L22F??0.21(m)?2?(g?g?2gg) 1212??L'?2F?0.92(m)???Lg1g2(1?g1g2)1/4??[]?0.38?(m)?0?(g1?g2?2g1g2)2???(g1?g2?2g1g2)21/4[]?0.83?(rad)?2?1/e2?2?Lg1g2(1?g1g2)??可见，该腔输出光束腰大小为0.38?米，位于束腰该腔的平面腔镜上，全发散角为
0.83?(rad)。与该腔等价的共轭共焦腔长为0.92米，腔中心位于平面腔镜上。
43. 试求出方形镜共焦腔面上44. 求圆形镜共焦腔
TEM30模的节线位置，这些节线是等距分布的吗？
TEM20和TEM02模在镜面上光斑的节线位置。
45. 腔长L=0.8m的球面腔，腔镜曲率半径分别为R1=1.5m和R2=1m。试证明该腔为稳定
腔；求出它的等价共焦腔的参数；在图上画出等价共焦腔的具体位置。 解题思考：
关键概念：稳定腔、等价对称共焦腔 关键公式：0?g1g2?1
L?g?1??1R1? ?L?g?1?2?R2??L(R2?L)Lg2(g1?1)??z1?(L?R2)?(L?R1)g1?g2?2g1g2???L(R1?L)?Lg1(g2?1)?z???2(L?R2)?(L?R1)g1?g2?2g1g2??L(R2?L)(R1?L)(R1?R2?L)g1g2(1?g1g2)L22?F??2?[(L?R)?(L?R)](g1?g2?2g1g2)221?
L7?g?1???1R115?解： ?
?g?1?L?12?R25?70?g1g2(?)?1
75可见，该腔为稳定腔。
可以该双腔的等价对称共焦腔中心为坐标原点、以双凹镜面中心连线为z轴建立坐标系。假设该双凹镜在该坐标系中的坐标分别为z1和z2，等价对称共焦腔的腔长L’为2F。
?Lg2(g1?1)z??1g1?g2?2g1g2???Lg1(g2?1)?z?由：?2
g?g?2gg1212??g1g2(1?g1g2)L22?F?(g1?g2?2g1g2)2??8?z????0.178(m)?145?28??0.622(m)得：?z2?45??F2?0.235(m2)??L'?2F?0.97(m)等效共焦腔腔镜的位置如下图虚线所示：
R1 -0.8 -0.558 R2 ? 0 0.2 0.558 z
?46. 某二氧化碳激光器采用平、凹腔，L=50cm，R=2m，2a=1cm，??10.6μμ。试计算s1、
12?s2、?0、?0、?00?00、各为多少。
47. 试证明，在所有a/L?相同而R不同的对称球面镜稳定腔中，共焦腔的衍射损耗最低。
2