23．(本题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.
已知曲线C1：
?x?3?costy?2?sint (t为参数)， C2：y?3sin?(?为参数).
?x?4cos?⑴化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； ⑵若C
1上的点P对应的参数为
t??，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线
C3:??cos??2sin???7距离的最大值．
24．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知函数f?x??x?a.
⑴若f?x??m?m?0?的解集为x????,1???7,???，求实数a,m的值；
⑵当a??1时，当x??2时，不等式f?x??t?f?x?2?恒成立，求t的取值范围.
七校联合体2019届高三第二次联考试卷
理科数学（答案）
一、选择题：CCDCBD、ABCADB 二、填空题： -2 三、解答题
x2?y2?2x?1y?15?04
43
6
a1?a2?a3???an?1?a?2n34n17．解：⑴当n≥2时，2 ……① aa1a2a3?????n?an?1?234n?1∴2 ……②【1分】
an?1n?2an??an?1?anan?1 (n?2……)【3分】 ∴②-①得n?1，即na1?a2?22由，得a2?3
∴
……【4分】
an?a2?a3a4a????n?3?4?5???n?1a2a3an?134n?n?1 (n?3)……【6分】
·6·
∵a1?2、a2?3都满足上式 ∴an?n?1 ⑵
……【7分】
bn?11111??3an?5??3an?1?5??3n?2??3n?1??3(3n?2?3n?1)……【9分】
频率组距0.250.200.150.100.05O0.010.0151?(1?1)?(1?1)???(1?1)??4473n?23n?1? ∴Bn3??1(1?1)?n33n?13n?1 ……【12分】
18．解：(1)频率分布直方图如右……【3分】 所求的平均值为： 0.01×2×1+0.015×2×3+0.2×2×5
+0.15×2×7+0.125×2×9=6.46……【5分】
0.20 0.15 0.125250?0.5(2) 男居民幸福的概率为500 300?0.6女居民幸福的概率为500
246810幸福感指数故一对夫妻都幸福的概率为0.5×0.6=0.3……【7分】
因此X的可能取值为0，1，2，3，4，且X～B(4,0.3) ……【8分】
∴P(X?0)?C4?(1?0.3)?0.2401，P(X?1)?C4?0.3(1?0.3)?0.4116
23P(X?2)?C4?0.32(1?0.3)2?0.2646，P(X?3)?C4?0.33(1?0.3)?0.0756 4P(X?4)?C4?(1?0.3)4?0.0081，
04113∴X的分布列为 X
p 0 0.2401
1 0.4116 2 0.2646 3 0.0756 4 0.0081
……【11分】
∴E(X)?np?4?0.3?1.2
……【12分】
·7·
19．⑴证：连结BH，由题知AB⊥面BCGF 又∵CN?面BCGF，∴AB⊥CN ……【1分】 ∵AG⊥面CMN，∴AG⊥CN ……【2分】
又∵AG∩AB=A，AG、AB?面BAH，∴CN⊥面BAH……【4分】 又∵BH?面BAH，∴CN⊥BH ……【5分】
⑵解：以DA、DC、DE为x、y、z轴，建立空间直角坐标系……【6分】 ∵四边形AEFG为菱形，可设AE=EG=a，DE=b
222由AE?AD?DE，得a?5?b
22由EG?(GC?DE)?DC，得a?(3?b)?8 以上面两式解得：a=3，b=2
……【8分】
22222∴E(0,0,2)、A(5,0,0)、G(0,22,3)
????????∴AE?(?5,0,2)、AG?(?5,22,3)
??????n?AE?0???????n?AG?0?n由，解得?(8,?10,45)为面AFGE的一个法向量……【10分】
?m由题知?(0,0,1)为面ABCD的一个法向量
????n2770??2770cos?n,m????mnm77，∴所求二面角的余弦值为77……【12分】 ∴
????4?c,b??AF?c,?b,FP?33 20．解：⑴由题知：A?0,b?,F?c,0?，∴
??4c?c2?b2?0????????????????3∵AF?FP，?AF?FP?0，即3……【1分】
b43?3?12222b2又a且a?b?c，
????22 ……【2分】
x2?y2?1∴b?c?1,a?2，∴椭圆C的方程为：2……【4分】
⑵依题意可设动直线l的方程为：y?k?x?2??k?0? 设D?x1,y1?,E?x2,y2?
2??x?y?1?22222?1?2kx?8kx?8k?2?……0【5分】 ????y?kx?2?由可得 20?k?1??64k?41?2k8k?2?0????2……【6分】 则，解得
2422·8·
22x1?x2?8k2x1x2?8k?21?2k，1?2k2 由韦达定理可得
……【7分】
2?x1?x2??4x1x2 DE?1?k∴
2?1?k2?8k21?2k2?2222221?k1?2k?48k?2?1?2k21?2k2……【8分】
设点O到直线l的距离为d, 则
d?2k1?k2 S?ODE∴
?1DEd?222k2?2k42?1?2k2? ?22?231?11?312?22???122221?2k21?2k??16……【10分】 2k?14??1?1?1?20?k2?122 ?1?2k?1?2 22k?1 ?1?3k??61?222?26时，S△ODE取得最大值，最大值为42 ∴当2k?14即
21．解：⑴记l(x)?(2?a)(x?1)，s(x)?2lnx，则f(x)?l(x)?s(x)
(0,1)(0,1)f(x)s(x)l(x)∵在2上无零点，∴直线与曲线在2上无交点
l(1)?s(1)(2?a)(1?1)?2ln12，即22 只需2解得a?2?4ln2，∴a的最小值是2?4ln2……【4分】 ⑵g(x)?(1?x)e?1?x，
e)在(0,1)上，g(x)?0，g(x)单调增；在(1,上，g(x)?0，g(x)单调减
??g(0)?0，g(1)?1，g(e)?e2?e?0
∴g(x)在(0,e]上的值域为(0,1]
……【6分】
f?(x)?(2?a)x?2x
?①当a?2时，在(0,e]上，f(x)?0，f(x)单调减，不合题意……【7分】 x?2?0?f(x)?02?a②当a?2时，令得
·9·
2?e2?2?a?2e(i)当2?a时，即时，
?在(0,e]上，f(x)?0，f(x)单调减，不合题意……【8分】
2?ea?2?2e时， (ii)当2?a时，即
(0,2)(2 ,e)??f(x)?0f(x)在2?a上，，单调减；在2?a上，f(x)?0，f(x)单调增
?x1?(0,2)?(0,e2?a∵
a?32)，使得f(x1)?(2?a)?0?2lnea?32?a?2?1……【9分】
∴要使方程f(x)?g(x0)在(0,e]上总存在两个不等的实根
a?2ln(2?a)?2ln2?02???f(2?a)?0???3a?2???e?1只需?f(e)?1，即?……（*） ……【10分】 x?2?2h(x)?x?2ln(2?x)?2ln2e 令，
h?(x)?xx?2，令h?(x)?0得x=0
2)(0,2?e上，h?(x)?0，h(x)单调减 在(??,0)上，h?(x)?0，h(x)单调增；在
∴h(x)max?h(0)?0，
?a?2?2?e?a?2?3??e?1 ∴（*）式的解为
……【11分】
a?2?3(??,2?3]e?1，∴实数a的取值范围是e?1……【12分】 ∴
22．解：(1)∵PA是切线，AB是弦，∴∠BAP=∠C
又∵∠APD=∠CPE，∴∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE ∵∠ADE=∠BAP+∠APD, ∠AED=∠C+∠CPE ∴∠ADE=∠AED
…………【5分】
PCAC(2)由(1)知∠BAP=∠C,又∠APC=∠BPA,∴?APC∽?BPA,PA=AB,
∵AC=AP, ∠BAP=∠C=∠APC,
由三角形的内角和定理知：∠C+∠APC+∠PAC=180o, ∵BC是圆O的直径,∴∠BAC=90o ∴∠C+∠APC+∠BAP=90o,∴∠C=∠APC=∠BAP=30o,
PCAC在Rt?ABC中, AB=3,∴PA=3
…………【10分】
·10·