孟津一高2015——2016学年上期期末考试
高三数学（文）答案
一、选择题.1-5ADBBC 6-10ABDAD 11-12CC 二、填空题（13）21 （14）48 （15） 2016 （16）17.解：（1）?csinA?80? 33acosC，由正弦定理得sinCsinA?3sinAcosC……2分
?sinA?0 ?tanC?3, ?0?C?? ?C??3 ……4分
(2) sin(??A?B)?sin(A?B)?3sin2A ?2cosAsinB?6sinAcosA 当cosA?0时，sinB?3sinA ?b?3a ……6分
?a?2,b?32 S?133 ……9分 absinC?22当cosA?0时，A??2 ，b?ctan?6?42173 ?S?bc? ……12分 32318.（1）证明：连接AC1交AC1与点F,则F为AC1的中点。 ……2分 又D是AB的中点，连接DF，则BC1∥DF.
∵DF?平面ACD ,BC1? 平面ACD ∴BC1∥平面ACD ……5111分
(2)∵ ABC?A1B1C1是直三棱柱，∴AA1 ⊥CD 由已知AC=CB，D是AB的中点，∴CD⊥AB.
又AA1? AB=A，于是CD⊥平面ABB1A1. ……8分 由AA1=AC=CB=2，AB=22 得∠ACB=90°，CD=2，A1D?故A1D2?DE2?A1E2 ，即DE⊥A1D
6,DE?3,A1E?3
11?VC?A1DE???6?3?2?1 ……12分
3219.（1）依题意，20?(0.002?0.0095?0.011?0.0125?x?0.005?0.0025)?1
解得x=0.0075. ……4分 (2)由图可知，最高矩形的数据组为[220，240) ,
6
所以众数为
220?240?230 。 2?[160,220)的频率之和为(0.002?0.0095?0.011)?20?0.45 ，
? 依题意，设中位数为y
∴0.45+（y-220）? 0.0125=0.5 , 解得y=224，
? 中位数为224. ……8分
（3） 月平均用电量在[220，240)的用户在四组用户中所占比例为
0.012550.0125?0.0075?0.005?0.0025?11
? 月平均用电量在[220，240)的用户中应抽取11?511=5（户） ?b?320（1）由题设知??c1 ，又b2?a2?c2 ，
??a?2a?2,b?3,c?1 ? 椭圆的方程为x22?y4?3?1 （2）由（1）知，以F221F2为直径的圆的方程为x?y?1 ， 所以圆心到直线的距离为d?2|m|5 ，由d?1 得|m|?52 （? ）?|CD|?21?d2?21?45m2?255?4m2 ?x?设A(x?y??12x?m1,y1),B(2,y2) 由?2 得x2?mx?m2?3?0 ?x2??4?y3?1由根与系数的关系可得x21?x2?m,x1x2?m?3
?|AB|?[1?(?12)2][m2?4(m2?3)]?1524?m2 由|AB||CD|?534得4?m25?4m2?1 ，解得m??33 ，满足（? ） ∴直线l 的方程为y??132x?3或y??132x?3 ……12分
……4分
……6分
10分
……12分 7
……
21. (1)由已知，函数f(x)的定义域为(0,??)，
g(x)?f?(x)?2(x?1?lnx?a)， ?g?(x)?2?当x?(0,1)时，g?(x)?0,g(x)单调递减；
22(x?1) ……2分 ?xx当x?(1,??)时，g?(x)?0,g(x)单调递增. ……5分 （2）由f?(x)?2(x?1?lnx?a)?0，解得a?x?1?lnx. 令?(x)??2xlnx?x?2x(x?1?lnx)?(x?1?lnx)
22?(1?lnx)2?2xlnx ……7分
则?(1)?1?0,?(e)?2(2?e)?0 于是，存在x0?(1,e)使得?(x0)?0.
令a0?x0?1?lnx0?u(x0)，其中u(x)?x?1?lnx(x?1). 由u?(x)?1?1?0知，函数u(x)在区间(1,??)上单调递增， x故0?u(1)?a0?u(x0)?u(e)?e?2?1，即a0?(0,1).
当a?a0时，有f?(x0)?0,f(x0)??(x0)?0 ……9分 再由（1）知，f?(x)在区间(1,??)上单调递增， 当x?(1,x0)时，f?(x)?0,从而f(x)?f(x0)?0； 当x?(x0,??)时，f?(x)?0从而f(x)?f(x0)?0； 又当x?(0,1)时，f(x)?(x?a0)2?2xlnx?0 . 故x?(0,??)时f(x)?0
综上所述，存在a?(0,1)，使得f(x)?0恒成立，且f(x)?0在区间(1,??)内有唯一解. ……12分
22.(1)如图,连接AE,由已知得，AE⊥BC，AC⊥AB， 在Rt△AEC中，由已知得，DE=DC,故∠DEC=∠DCE， 连接OE，则∠OBE=∠OEB.又∠ACB+∠ABC=90°， 所以∠DEC+∠OEB=90°,
8
故∠OED=90°，DE是⊙O的切线 ……5分
（2）设CE=1.AE=x，由已知得AB=23 ，BE=12?x ，
由射影定理可得，AE2?CE?BE ，所以x?12?x ，即x4?x2?12?0 可得x?2223 ，所以∠ACB=60°。 ……10分
2223.（1）曲线C2的直角坐标方程为x?y?2y?0 ，曲线C3的直角坐标方程为
?22x???x?0???x?y?2y?022 x?y?23x?0，联立?，解得?或?22y?0??x?y?23x?0?y????所以C2与C3与交点的直角坐标为(0,0)和(32 3233,) 。 ……5分 22（2）曲线C1 的极坐标方程为???(??R,??0),其中0???? ， 因此A的极坐标为(2sin?,?)，B的极坐标为(23cos?,?) ， 所以|AB|?|2sin??23cos?|?4|sin(??当???3)|
5?时，|AB|取最大值，最大值为4 ……10分 6－2x＋5，x≤2，??
24．解：(1)当a＝－3时，f(x)＝?1，2 ??2x－5，x≥3. 当x≤2时，由f(x)≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1； 当2 当x≥3时，由f(x)≥3得2x－5≥3，解得x≥4； 所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}． ……5分 (2) f(x)≤|x－4|?|x－4|－|x－2|≥|x＋a|. 当x∈[1,2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|?4－x－(2－x)≥|x＋a|?－2－a≤x≤2－a. 由条件得－2－a≤1且2－a≥2，即－3≤a≤0. 故满足条件的a的取值范围为[－3,0]． ……10分 9