武汉理工大学《自动控制原理》课程设计
位置随动系统建模与时域特性分析
1 控制系统的建模
1.1 系统总体分析
1.1.1 系统分析方法
由于所给的系统是其原理图，是实际的参数和数据，但是在分析的时候如果不对实际原理进行抽象和总结，系统由于其复杂性将难以入手。因而必须首先对系统进行相应的抽象，提炼出其数学模型，这样才能从定量的角度分析和研究系统。控制系统的数学模型描述了系统内部的物理量和变量之间的关系。当知道了相应的输入和输出量时，我们可以通过建立相应的微分方程来构造数学模型，了解系统的特性。因此构造系统的数学模型是研究系统的基础。
建立系统的数学模型简称建模。系统建模有两大类方法，一类是机理分析建模方法，称为分析法，机理分析建模是通过对系统内在机理分析，运用各种物理、化学等定律，推导出描述系统运动的数学表达式。俗称“白箱”建模方法。另一类是实验建模方法，通常称为系统识别。系统识别是利用系统输入、输出的实验数据或者正常运行数据，构造数学模型的实验建模方法。俗称“黑箱”建模方法。
分析法建立数学模型的一般步骤： 确定系统的输入、输出变量。
从输入端开始，按照信号的传递顺序，一句各变量所遵循的物理、化学等定律，列些各变量之间的动态方程，一般为微分方程。
标准化：将与输入有关的各项防灾等号右边，与输出有关的各项防灾等号左边，并且分别按降幂排列，最后将系数表示为反映系统动态性能的参数，如时间常数等。
本次的系统分析建模是采用的分析法，即由相应的电路、电机和物理知识，推导各个部分的数学模型——微分方程，通过微分方程的表达出相应的结构图，再将各个部分相互级联，推导出总的结构图，最后由机构图表达出总的闭环函数。
1
武汉理工大学《自动控制原理》课程设计
1.1.2 系统总性能分析
随动控制系统又名伺服控制系统。其参考输入是变化规律未知的任意时间函数。随动控制系统的任务是使被控量按同样规律变化并与输入信号的误差保持在规定范围内。故又称跟踪系统，其特点是输入为未知。对于这样一个系统系统分析的目的是增加被控对象跟踪的快速性和准确性。
分析题目所给的原理图可知，系统所要达到的条件是使输出?c（由于右边的电位器与负载共轴因而输出角度为?c）的角度能够跟随输入给定的?r的角度实时变化，使得最终达到?c=?r的稳定状态。具体实现的要求为：
当?c=?r时，即为给定初始系统稳定情况下，由于电桥两臂的点位相同，因而此时
U0?k(?r??c)=0，因而最终稳定时伺服电机转速?c=0这样才能使U2=0从而U=0使得伺
服电机转速为0达到稳定；
当?c0，此时伺服电机由于惯性将不转动，因而U2=0，推出U>0,这样Ua>0,从而驱动伺服电机SM转动，伺服电机通过减速器带动负载正转，同时将角度信号通过联轴器传至电位器，继而使?c增大，使得U0相应减小即转动速度减小，直至?c=?r达到一个新的平衡状态停止转动为止。
当?c>?r时，即此时输入角?r增大，从而推出U0?k(?r??c)<0，而由于惯性，因而
U2=0，从而U<0, Ua<0,驱动伺服电机SM转动，电机通过减速器带动负载反转，同时将
角度信号通过联轴器传至电位器，继而使?c减小，使得U0相应减小即转动速度减小，直至?c=?r达到一个新的平衡状态停止转动为止。
2
武汉理工大学《自动控制原理》课程设计
1.2 系统总体方框图
依据以上的性能分析，可以大致画出总的系统框图如图1。
-电桥电位器放大电桥输角度误差出电压误差电压测速发电机 输入角度-放大器放大电机驱动电压电机驱动电机输出角速度减速器输出角度
图1系统总体方框图
1.3 系统各部分传递函数
1.3.1 电桥电位器
单个电位器的原理图如图2所示。
?U?(t)-E+
GND
图2电桥电位器原理图
由图2可知当角度线性变化的时候指针所指的位置也不一样从而分得的电压也不同，达到角度量向电量的转换的功能，由几何比例关系和电路定律可以推导出角度与电压的关系为。
U?(t)??cE ?m由此可知道分压的大小与角度?c是成线性比例关系的因而可以将其表示为：
3
武汉理工大学《自动控制原理》课程设计
U?(t)?E?m?c?K??c K??E?m
其中E是电位器的电源电压，?m是电位器的最大调节角。 而两个电位器相互构成一个电桥形式，其等效电路如图3。
Rr1
U 0(t)Rr2Rc2
Rc1E
图3电位器等效电路
由电路图可以推导出相应的表达式为：
U0(t)?Ur(t)?Uc(t)?K?[?r(t)??c(t)]
对其求拉氏变换可得相应的表达式为：
U0(s)?K?W(s)?K?(?r(s)??c(s))
故电位器部分的结构图如图4。
?r(s)K??c(s)
图4电位器部分结构图
-
1.3.2 测速电机部分
测速电机的主要作用是将转轴的角速度量转化为电压量的一个速度—电量传感器，该系统采用是直流测速电机。
4
武汉理工大学《自动控制原理》课程设计
其原理图如图5所示。
永磁铁TG电机电机联轴U2(s)
图5 测速电机原理图
图中的电机联轴与输出电机的转轴相连，通过联轴连接之后可以保证测速电机的角转速与电机输出电机的轴上的角速度相同。由直流电机相应的知识可以知道输出电压是正比于电机的转速的，因而可以得到相应的表达式如下：
d?(t) U2(t)?kt?(t)?ktdt其中kt是输出电压与输出角速度的比值为一常数，?(t)为电机角速度即为输出轴的角速度，?(t)为输出轴的角度，同样进行拉氏变换可以得到表达式：
U2(s)?ktW(s)?kts?m(s)
其中W(s)为角速度的拉氏变换，?(s)为角速度的拉氏变换，由拉氏变换的性质可得：
d?(t)L[]?s?(s)
dt因而测速电机的结构图可以表示如图6所示。
Wm(s)1s?m(s)U2(s)kt
图6测速电机部分结构图
1.3.3 放大器部分
由于放大器部分仅仅是对输入进行放大，因而可以表示所示。
5
Ua(s)?KaU(s)结构图如图7