武汉理工大学《自动控制原理》课程设计
[num,den]=zp2tf(z,p,k) 其作用是将传递函数的零、极点形式转换成有理分式的传递函数。
Matlab绘制程序如下：
z=[(-20/0.8)];
%开环传递函数零点
p=[0,(-1.36/0.038)]; k=[1]; sys=zpk(z,p,k) [num,den]=zp2tf(z,p,k);
%开环传递函数极点
%开环传递函数增益
%零极点形式表达并显示
%将零极点形式转换为有理分式形式
G=tf(num,den) %有理分式形式表达并显示 rlocus(num,den) %绘制根轨迹 运行m文件后命令界面显示如图15所示。
图15运行代码后的窗体
由此可以观察相应不同形式的表达方式。
Ka(0.8s?20)Ka'(s?25)Ka'(s?25)??2即有G'(s)?
s(0.038s?1.36)s(s?35.79)s?35.79s
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绘制出来得到相应的根轨迹如图16所示。
Root Locus642Imaginary Axis0-2-4-6-120-100-80-60-40Real Axis-20020
图16根轨迹图
3 控制系统时域分析
对控制系统的性能要求，主要是稳定性、暂态性能和稳定性能的几个方面的分析。
3.1
Ka?10时系统性能分析
3.1.1 暂态性能和稳态性能分析
当系统不稳定时，任何扰动都会使系统的输出趋于无穷，所以系统稳定时系统能够正常工作的前提。但对于稳定系统，还需要有较好的动态性能。一般要求系统跟踪输入变化的速度要快，跟踪精度要高。因此需要进一步分析系统的暂态性能和稳态性能。
系统的输出响应与输入信号有关，因此必须给系统一些典型信号作为系统的输入信号，以作为系统分析、设计的基础。这里选用典型信号是单位阶跃函数和单位斜坡函数，单位阶跃函数表达式如下。
?0r(t)???Rt?0t?0
输入信号为R(s)=1/s。 单位阶跃函数表达式如下：
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?0r(t)???Rtt?0t?0
输入信号为R(s)=1/s2
对于此题目中所给的二阶系统而言，分析的主要性能指标有：
? ———— 阻尼比
?n ———— 无阻尼振荡频率
tp ———— 超调时间 ———— 上升时间
trts ———— 调节时间 ?p%————超调量
3.1.2 单位阶跃响应的Matlab绘制
Ka?10时，系统的开环传递函数为
G(s)?200
s(0.038s?9.36)相应的闭环传递函数为
?(s)??c(s)G(s)2005263??? 22?r(s)1?G(s)0.038s?9.36s?200s?246s?5263在Matlab中进行编写相应程序绘制单位阶跃响应曲线， 所用函数有：
Step（num,den）有系统方程直接绘制系统的单位阶跃响应曲线。 绘制曲线程序如下:
num=[5263]; %传递函数的分子 den=[1,246,5263];
%传递函数的分母
G=tf(num,den) %构造传递函数以有理分式形式表示 step(G) %绘制传递函数的单位阶跃响应曲线 grid on %绘制网格
xlabel('t'),ylabel('c(t)') %定义横纵坐标表示意义 title('Ka=10时的单位阶跃响应') %设置标题
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得到相应的响应曲线如下图17。
Ka=10时的单位阶跃响应10.90.80.70.6c(t)System: GTime (sec): 0.131System: GTime (sec): 0.102Amplitude: 0.95Amplitude: 0.9System: GTime (sec): 0.17Amplitude: 0.980.50.40.30.20.1000.050.1t (sec)0.150.20.25
图17 单位阶跃响应曲线
3.1.3 暂态性能指标分析
分析上述系统可知其特征方程为：
D(s)?s2?246s?5263
由二阶系统的相关定义可知
?2??n?246 ?2??n?5263?n?72.5。 求相应的参数值为 ??1.69,7由于相应的参数 ??1.69? 7因而该二阶系统是一个过阻尼系统。1因而c(t)在t?0时与横轴相切，随着时间t的增长单调上升，稳态值为1。
由于阶跃响应时单调上升的，因而其上升时间定义相应改变为达到稳态值的90%的时间。
即满足式子 ：
c(tc?()r)?90%
t因而从响应曲线上读出c(tr)?90%c(?)?0.9时的r为0.102s。
而图中系统为过阻尼系统，因而系统不存在超调，如果仅按定义处理即达到最大值的时间处理，tp?0.25s。
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而调节时间由定义可知是系统的阶跃响应衰减到给定的误差带内，并且以后不再超过给定的误差带的时间，即满足不等式：
c(ts)?c(?)??%c(?)
当??5时，由曲线可以读出ts?0.131s。 当??2时，由曲线可以读出ts?0.17s。
由于系统的型别为1型，且系统的根均在左半平面，因而可以利用误差系数法求解相应的稳态误差具体如下：
Kp?limG(s)H(s)??
s?0ess(?)?1?0
1?Kp综合上述所得可以知道相应的稳态参数为：
tp?0.25s
?0.134st? s??0.172s??2??5
tr?11.1s
ess(?)?0
由上面的算式推导可知，系统稳态输出与输入之间不存在位置误差，系统能准确跟踪
输入信号；由图17可知系统在单位阶跃输入作用下的稳态时的输出值为1，而输入的稳态值也为1，及稳态时的系统误差为0，这和理论计算是一致的。即达到了随动控制系统使被控量按同样规律变化并与输入信号的误差保持在规定范围内的要求。
3.2 阻尼比为0.7时性能分析
由于系统的闭环传递函数为：
?(s)??c(s)20KaG(s)???r(s)1?G(s)0.038s2?(1.36?0.8Ka)s?20Ka526.316Ka?2s?(35.7895?21.053Ka)s?526.316Ka
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