沈阳市第三十一中学 李曙光编辑整理，希望对大家有帮助，疏漏之处请指正 椭圆常见结论
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 x2y2?2?1?a?b?0? 2ab?a?x?a且?b?y?b y2x2?2?1?a?b?0? 2ab?b?x?b且?a?y?a 范围 ?1??a,0?、?2?a,0? 顶点 ?1?0,?a?、?2?0,a? ?1??b,0?、?2?b,0? ?1?0,?b?、?2?0,b? 轴长 焦点 焦距 对称性 短轴的长?2b 长轴的长?2a F1??c,0?、F2?c,0? F1?0,?c?、F2?0,c? F1F2?2c?c2?a2?b2? 关于x轴、y轴、原点对称 离心率 cb2e??1?2?0?e?1?e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁aa 1.椭圆的两焦点分别为F1,F2,P是椭圆上任意一点,则有以下结论成立: (1)PF1?PF2?2a; (2)a?c?PF1?a?c; (3)b?PF1?PF2?a;
22x2y22. 椭圆的方程为2?2?1（a＞b＞0）, 左、右焦点分别为F1,F2,P?x0,y0?是椭圆上
ab任
意
一
点
,
则
有
:
(1)
b22a2222y0?2?a?x0?,x0?2?b?y02?ab2;
(2)|PF1|?a?ex0,|PF2|?a?ex0; (3)b?OP?aO为原点;
??
1
(3)??x0?acos??为参数?; ??y0?bsin?3.设P点是椭圆上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记?F1PF2??，则
?2b22(1)|PF1||PF2|?.(2) S?PF1F2?c|yP|=btan.(3)当P点位于短轴顶点处
21?cos?2时, ?最大,此时S?PF1F2也最大;(4) cos??1?2e.（5）点M是?PF1F2内心，PM交F1F2于点N，则
|PM|a?.
|MN|cx2y24.AB是椭圆2?2?1的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则
abb2kOM?kAB??2，
ab2x0即KAB??2。
ay0x2y25. 椭圆的方程为2?2?1（a＞b＞0），A1,A2为椭圆的长轴顶点，P点是椭圆上异于长
abb2轴顶点的任一点，则有KPA1KPA2??2
ax2y26. 椭圆的方程为2?2?1（a＞b＞0），B1,B2为椭圆的短轴顶点，P点是椭圆上异于短
abb2轴顶点的任一点，则有KPB1KPB2??2
ax2y27. 椭圆的方程为2?2?1（a＞b＞0），过原点的直线交椭圆于A,B两点，P点是椭圆上
abb2异于A,B两点的任一点，则有KPAKPB??2
ax2y2?2?1上，则（1）以P8. 若P0(x0,y0)在椭圆0(x0,y0)为切点的切线斜率为2abx0xy0yb2x0?2?1. （2）过P的椭圆的切线方程是k??2；0a2bay0x2y29.若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦
abxxyyP1P2的直线方程是02?02?1.
ab10.椭圆的两个顶点为A1(?a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2x2y2交点的轨迹方程是2?2?1.
ab11.过椭圆上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC
有定向且kBCb2x0?2（常数）. ay0
2
12. 若P为椭圆上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, ?PF1F2??, ?PF2F1??，则e?csin????? . ?asin??sin?13. P为椭圆上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则
2a?|AF2|?|PA|?|PF1|?2a?|AF1|,当且仅当A,F2,P三点共线时，等号成立.
14.O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OP?OQ.（1）
2
2
1111???2;222|OP||OQ|ab4a2b2a2b2（2）|OP|+|OQ|的最大值为2;（3）S?OPQ的最小值是2. 22a?ba?b15. 已知A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0), 则
a2?b2a2?b2??x0?.
aa16. 离心率e=
cb2b2（）=1?、e2=1- （）aaa17. 过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为
2b2 a18.如图所示,△ABF2的周长为4a,
19. 从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线必经过椭圆的另一个焦点.
x2y220. 过椭圆2?2?1(a?b?0)左焦点的焦点弦为AB,则AB?2a?e(x1?x2)；过右焦
ab点的弦AB?2a?e(x1?x2).
21. 内接矩形最大面积：2ab.
x2y222. 若椭圆方程为2?2?1(a?b?0)，半焦距为c，焦点F1??c,0?,F2?c,0?，设
ab过F1的直线l 的倾斜角为?，交椭圆于A、B两点，则有：①
b2b2２ab2AF1?,BF1? ；②AB?２２２
a?ccos?a?ccos?a?ccos?x2y2若椭圆方程为2?2?1(a?b?0)，半焦距为c，焦点F1??c,0?,F2?c,0?，设
ab
3
过F２的直线l 的倾斜角为?，交椭圆于A、B两点，则有：①
b2b22ab2AF,BF ；②AB?２２２ ２?２?a＋ccos?a－ccos?a?ccos?2ab2同理可求得焦点在y轴上的过焦点弦长为AB?２２２（a为长半轴，b为
a?csin?短半轴，c为半焦距）
?2ab2?焦点在x轴上???a２?c２cos２?结论：椭圆过焦点弦长公式：AB?? 22ab??焦点在y轴上???a２?c２sin２?23.若AB是过焦点F的弦,设AF?m,BF?n,则1?1?2a
2mnb双曲线常见结论 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 x2y2??1?a?0,b?0? a2b2x??a或x?a，y?R y2x2??1?a?0,b?0? a2b2y??a或y?a，x?R 范围 顶点 轴长 焦点 焦距 对称性 离心率 ?1??a,0?、?2?a,0? F1??c,0?、F2?c,0? ?1?0,?a?、?2?0,a? F1?0,?c?、F2?0,c? 虚轴的长?2b 实轴的长?2a F1F2?2c?c2?a2?b2? 关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称 cb2e??1?2?e?1?，e越大，双曲线的开口越阔aa
4
渐近线方程 y??bx ay??ax b1.双曲线的两焦点分别为F1,F2,P是双曲线上任意一点,则有以下结论成立: (1)PF1?PF2?2a; (2)PF1min?a?c,PF2min?c?a?P在右支上?;
PF2min?a?c,PF1min?c?a?P在左支上?
x2y2 2. 双曲线的方程为2?2?1（a＞0，b＞0）, ,P?x0,y0?是双曲线上任意一点,则有:
abb2a22222y0?2?x0?a?,x0?2?b?y02?;
ab23.设P点是双曲线上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记?F1PF2??，则
?2b22(1)|PF1||PF2|?.(2) S?PF1F2?c|yP|=bcot.
21?cos?x2y24.AB是双曲线2?2?1的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则
abb2kOM?kAB?2，
ab2x0即KAB?2。
ay0x2y25. 双曲线的方程为2?2?1（a＞0，b＞0），A1,A2为双曲线的实轴顶点，P点是双曲
abb2线上异于实轴顶点的任一点，则有KPA1KPA2?2
ax2y26. 双曲线的方程为2?2?1（a＞0，b＞0），B1,B2为双曲线的虚轴端点，P点是双曲
abb2线上异于虚轴端点的任一点，则有KPB1KPB2?2
ax2y27. 双曲线的方程为2?2?1（a＞0，b＞0），过原点的直线交双曲线于A,B两点，P点
abb2是双曲线上异于A,B两点的任一点，则有KPAKPB?2
ax2y28. 若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1上，则（1）以P0(x0,y0)为切点的切线斜率为
abx0xy0yb2x0?2?1. （2）过P的双曲线的切线方程是k?2；0a2bay0
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