【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习 第5章 第4节 数列求和课
后限时自测 理 苏教版
[A级 基础达标练]
一、填空题
1*
1．(2014·常州调研)数列{an}满足an＋an＋1＝(n∈N)，且a1＝1，Sn是数列{an}的前n2项和，则S21＝________.
1
[解析] 由an＋an＋1＝＝an＋1＋an＋2，
2∴an＋2＝an，
∴S21＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a20＋a21) 1
＝1＋10×＝6.
2[答案] 6
4
2．(2013·大纲全国卷改编)已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝－，则{an}的前10
3项和等于________．
[解析] 由3an＋1＋an＝0，得
an＋11
＝－， an3
1
故数列{an}是公比q＝－的等比数列．
34
又a2＝－，可得a1＝4.
3
??1?10?4?1－?－??
1??3??
所以S10＝＝3－9.
3?1?1－?－??3?
1
[答案] 3－9
3
3．(2014·南通模拟)已知函数f(n)＝ncos(nπ)，且an＝f(n)，则a1＋a2＋a3＋…＋
2
a100＝________.
[解析] 因为f(n)＝ncos(nπ)， 所以a1＋a2＋a3＋…＋a100
＝－1＋2－3＋4－…－99＋100
2
2
2
2
2
2
2
＝(2－1)＋(4－3)＋…＋(100－99) ＝3＋7＋…＋199＝[答案] 5 050
4．已知{an}是公差为－2的等差数列，a1＝12，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a20|＝________.
[解析] 由题意知，an＝12＋(n－1)×(－2)＝－2n＋14， 令－2n＋14≥0，得n≤7，
∴当n≤7时，an≥0，当n＞7时，an＜0， ∴|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a20|
＝(a1＋a2＋…＋a7)－(a8＋a9＋…＋a20)＝2S7－S20 7×6?＝2?7×12＋2?＝224. [答案] 224
5．已知等比数列{an}中，a1＝3，a4＝81，若数列{bn}满足bn＝log3an，则数列?前n项和Sn＝________.
[解析] 设数列{an}的公比为q，则＝q＝27，得q＝3. 所以an＝a1q所以
1
?
n－1
222222
＋
2
＝5 050.
－
?－20×12＋20×19×(－2) ?2?
?
?bnbn＋1?
1?
?的
a4a1
3
＝3×31n＋
n－1
＝3，故bn＝log3an＝n，
nbnbn＋1n＝
11＝－. nn＋1
则数列?
1?111111n?的前n项和为1－＋－＋…＋－＝1－＝.
223nn＋1n＋1n＋1?bnbn＋1?
[答案]
nn＋1
6．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，{an}的“差数列”的通项公式为2，则数列{an}的前n项和Sn＝________.
[解析] ∵an＋1－an＝2，
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝2
n－1
nn＋2
nn－2
＋…＋2＋2＋2
2
2－2nn＝＋2＝2－2＋2＝2. 1－22－2n＋1
∴Sn＝＝2－2.
1－2[答案] 2
n＋1n＋1
－2
1127．(2014·徐州质检)已知数列{an}满足an＋1＝＋an－an，且a1＝，则该数列的前2 014
22项的和等于________．
112[解析] 因为a1＝，又an＋1＝＋an－an，所以a2＝1，
221
从而a3＝，a4＝1，…，
21??，n＝2k－1，
即得an＝?2
??1，n＝2k
(k∈N)．
*
13 021
故S2 014＝1 007×＋1 007×1＝.
22[答案]
3 021 2
m8．设函数f(x)＝x＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则数列?是________．
[解析] f′(x)＝mxm－1
??f1
n?
?(n∈N*)的前n项和?
＋a＝2x＋1，∴a＝1，m＝2.
1
∴f(x)＝x(x＋1)，因此用裂项法求和得Sn＝[答案]
fn.
＝n1n＋11＝－， nn＋1
nn＋1
nn＋1
二、解答题
9．(2014·重庆高考)已知{an}是首项为1，公差为2的等差数列，Sn表示{an}的前n项和．
(1)求an及Sn；
(2)设{bn}是首项为2的等比数列，公比q满足q－(a4＋1)q＋S4＝0，求{bn}的通项公式及其前n项和Tn.
[解] (1)因为{an}是首项a1＝1，公差d＝2的等差数列， 所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1. 故Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＝(2)由(1)得a4＝7，S4＝16.
因为q－(a4＋1)q＋S4＝0，即q－8q＋16＝0， 所以(q－4)＝0，从而q＝4.
2
2
2
2
na1＋an2
＝n＋2n－2
＝n.
2
又因为b1＝2，{bn}是公比q＝4的等比数列， 所以bn＝b1qn－1
＝2·4
n－1
＝2
2n－1
.
n从而{bn}的前n项和Tn＝
b1
－q1－q2n＝(4－1)． 3
*
10．(2013·湖南高考)设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1≠0,2an－a1＝S1·Sn，n∈N. (1)求a1，a2，并求数列{an}的通项公式； (2)求数列{nan}的前n项和．
[解] (1)令n＝1，得2a1－a1＝a1，即a1＝a1. 因为a1≠0，所以a1＝1.
令n＝2，得2a2－1＝S2＝1＋a2，解得a2＝2.
当n≥2时，由2an－1＝Sn,2an－1－1＝Sn－1两式相减，得2an－2an－1＝an，即an＝2an－1. 于是数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列． 因此，an＝2
n－1
2
2
.所以数列{an}的通项公式为an＝2
n－1
n－1
(n∈N)．
*
(2)由(1)知，nan＝n·2.记数列{n·2
n－1
n－1
}的前n项和为Bn，
于是Bn＝1＋2×2＋3×2＋…＋n×2
2
3
2
，①
2Bn＝1×2＋2×2＋3×2＋…＋n×2.② ①－②，得－Bn＝1＋2＋2＋…＋2
nn2
nn－1
－n·2
n*
n＝2－1－n·2.从而Bn＝1＋(n－1)·2(n∈N)．
[B级 能力提升练]
一、填空题
n4121*1．(2014·无锡质检)已知数列{an}满足a1＝，2－an＋1＝(n∈N)，则∑ ＝i＝1ai3an＋6________.
[解析] 由2－an＋1＝∴
1
122an，得an＋1＝， an＋6an＋6
3111?11?＝＋，即＋＝3?＋?. an＋1an2an＋14?an4?
?11?
故数列?＋?是首项为1，公比为3的等比数列．
?an4?
1111n－1n－1
∴＋＝1×3，从而＝3－， an4an41－3n2·3－n－2故? ＝－＝.
ai1－344i＝1
1
nnn2·3－n－2
[答案]
4
2．若数列{an}是正项数列，且a1＋a2＋…＋an＝n＋3n(n∈N)，则＋＋…＋
23n＋1＝________.
[解析] 令n＝1得a1＝4，即a1＝16.
当n≥2时，an＝(n＋3n)－[(n－1)＋3(n－1)]＝2n＋2. 所以an＝4(n＋1).
当n＝1时，也适合上式，所以an＝4(n＋1)(n∈N)． 于是
?是首项为8，公差为4的等差数列． ＝4(n＋1)，数列?
n＋1?n＋1?
2
*
2
2
2
2
*
na1a2anan?
an?
故＋＋…＋＝2n＋6n. 23n＋1[答案] 2n＋6n 二、解答题
3．(2014·江苏扬州月考)已知函数f(x)＝x－1，设曲线y＝f(x)在点(xn，yn)处的切线与x轴的交点为(xn＋1,0)，其中x1为正实数．
(1)用xn表示xn＋1； (2)x1＝2，若an＝lg
2
2
a1a2an2
xn＋1
，试证明：数列{an}为等比数列，并求数列{an}的通项公式； xn－1
nn＋
2
，记数列{an·bn}的前n项和Tn，求Tn.
(3)若数列{bn}的前n项和Sn＝
[解] (1)由题可得f′(x)＝2x，所以在曲线上点(xn，f(xn))处的切线方程为y－f(xn)＝f′(xn)(x－xn)，
即y－(xn－1)＝2xn(x－xn)
令y＝0，得－(xn－1)＝2xn(xn＋1－xn)，即xn＋1＝2xnxn＋1，
2
2
2
x2n＋1
由题意得xn≠0，所以xn＋1＝.
2xnx2n＋1
(2)因为xn＋1＝，
2xnx2n＋1
＋12xnxn＋1＋1x2xn＋n＋2xn＋1
所以an＋1＝lg ＝lg2＝lg 2＝lg
xn＋1－1xn＋1xn－2xn＋1xn－
－12xnan＋1＝2an，
所以数列{an}为等比数列，故an＝a12
n－1
22＝2lg
xn＋1
＝2an，即xn－1
＝lg
x1＋1n－1n－1
·2＝2lg 3. x1－1
(3)当n＝1时，b1＝S1＝1，当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝所以数列{bn}的通项公式为bn＝n， 故数列{an·bn}的通项公式为an·bn＝n·2∴Tn＝(1＋2×2＋3×2＋…＋n·2
2
2
nn＋
2
－nn－
2
＝n，
n－1
lg 3，
n－1
)lg 3，①
n①×2得2Tn＝(1×2＋2×2＋…＋n·2)lg 3，② ①－②得－Tn＝(1＋2＋2＋…＋2故Tn＝(n·2－2＋1)lg 3.
nn2
n－1
－n·2)lg 3，
n