2012年高考数学（理科）基础知识归纳
附：一般来说(ax?by)n(a,b为常数）在求系数最大的项或最小的项时均可直接根据性质二求．．．．．．．．．．．如何来求(a?b?c)n展开式中含apbqcr的系数呢？其中p,q,r?N,且p?q?r?n把
r(a?b?c)n?[(a?b)?c]n视为二项式，先找出含有Cr的项Cn(a?b)n?rCr，另一方面在npqrqn?r?qqqpq(a?b)n?r中含有bq的项为Cn?rab?Cn?rab，故在(a?b?c)中含abc的项为
rqpqrrCnCn?rabc.其系数为CnCn?qr?(n?r)!n!n!pqr???CnCn?pCr.
r!(n?r)!q!(n?r?q)!r!q!p!2. 近似计算的处理方法.
当a的绝对值与1相比很小且n不大时，常用近似公式(1?a)n?1?na，因为这时展开式的后
2233nn面部分Cna?Cna???Cna很小，可以忽略不计。类似地，有(1?a)n?1?na但使用这两个
公式时应注意a的条件，以及对计算精确度的要求.
概率 知识要点
1. 概率：随机事件A的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值.
2. 等可能事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有年n个，且所有结果出现的可能性都相等，那么，每一个基本事件的概率都是么事件A的概率P(A)?m. n1，如果某个事件A包含的结果有m个，那n3. ①互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果事件A、B互斥，那么事件A+B发生(即A、B中有一个发生)的概率，等于事件A、B分别发生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)，推广：P(A1?A2???An)?P(A1)?P(A2)???P(An).
②对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件. 例如：从1～52张扑克牌中任．．．．．．．．．．．．．．．
取一张抽到―红桃‖与抽到―黑桃‖互为互斥事件，因为其中一个不可能同时发生，但又不能保证其中一个必然发生，故不是对立事件.而抽到―红色牌‖与抽到黑色牌―互为对立事件，因为
互斥其中一个必发生.
对立注意：i.对立事件的概率和等于1：P(A)?P(A)?P(A?A)?1.
ii.互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件.
③相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响.这样的两个事件叫做相互独立事件. 如果两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A·B)=P(A)·P(B). 由此，当两个事件同时发生的概率P（AB）等于这两个事件发生概率之和，这时我们也可称这两个事件为独立事件.例如：从一副扑克牌（52张）中任抽一张设A：―抽到老K‖；B：―抽到红牌‖则 A应与B互为独立事件[看上去A与B有关系很有可能不是独立事件，但P(A)?4?1,P(B)?26?1,P(A)?P(B)?1.又事件AB表示―既抽到老
521352226K对抽到红牌‖即―抽到红桃老K或方块老K‖有P(A?B)?2?1，因此有P(A)?P(B)?P(A?B).
5226推广：若事件A1,A2,?,An相互独立，则P(A1?A2?An)?P(A1)?P(A2)?P(An).
第 26 页 共 31 页
2012年高考数学（理科）基础知识归纳
注意：i. 一般地，如果事件A与B相互独立，那么A 与B,A与B，A与B也都相互独立. ii. 必然事件与任何事件都是相互独立的.
iii. 独立事件是对任意多个事件来讲，而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件，且这多个事件不能同时发生，故这些事件相互之间必然影响，因此互斥事件一定不是独立事件.
独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的. 如果在一次试验中某事件发生的概率为P，那么在n次独立重复
kn?k试验中这个事件恰好发生k次的概率：Pn(k)?Ck. nP(1?P)概率与统计 知识要点
一、随机变量.
1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件： ①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.它就被称为一个随机试验.
2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a，b是常数.则??a??b也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，f(x)是连续函数或单调函数，则f(?)也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.
设离散型随机变量ξ可能取的值为：x1,x2,?,xi,?
ξ取每一个值x1(i?1,2,?)的概率P(??xi)?pi，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列. ? x1 x2 … xi … … p1 p2 pi P … 有性质①p1?0,i?1,2,?； ②p1?p2???pi???1. 注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：??[0,5]即?可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数.
3. ?二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个
kn?k事件恰好发生k次的概率是：P(ξ?k)?Ck[其中k?0,1,?,n,q?1?p] npq于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作?～B
kn?k（n·p），其中n，p为参数，并记Ck?b(k;n?p). npq?二项分布的判断与应用.
①二项分布，实际是对n次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布. ②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.
. ?超几何分布：一批产品共有N件，其中有M（M＜N）件次品，今抽取n(1?n?N)件，则其中的次品数
P(ξ?k)?kkCM?CNn??Mξ是一离散型随机变量，分布列为
CnN?(0?k?M,0?n?k?N?M).〔分子是从M件次品中取k件，从N-M件正
第 27 页 共 31 页
2012年高考数学（理科）基础知识归纳
r品中取n-k件的取法数，如果规定m＜r时Cm?0，则k的范围可以写为k=0，1，…，n.〕
?超几何分布的另一种形式：一批产品由 a件次品、b件正品组成，今抽取n件（1≤n≤a+b），则次品数ξ的分布列为P(ξ?k)?n?kCka?CbCna?bk?0,1,?,n..
二、数学期望与方差.
1. 期望的含义：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为 ? x1 x2 xi … P p1 p2 … … … pi 则称E??x1p1?x2p2???xnpn??为ξ的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.
2. ?随机变量??a??b的数学期望：E??E(a??b)?aE??b ①当a?0时，E(b)?b，即常数的数学期望就是这个常数本身.
②当a?1时，E(??b)?E??b，即随机变量ξ与常数之和的期望等于ξ的期望与这个常数的和.
③当b?0时，E(a?)?aE?，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.
?单点分布：E??c?1?c其分布列为：P(??1)?c. ?两点分布：E??0?q?1?p?p，其分布列为：（p + q = 1）
?二项分布：E??ξ P 0 q 1 p ?k?k!(n?k)!pn!k?qn?k?np 其分布列为?～B(n,p).（P为发生?的概率）
3.方差、标准差的定义：当已知随机变量ξ的分布列为P(??xk)?pk(k?1,2,?)时，则称
D??(x1?E?)2p1?(x2?E?)2p2???(xn?E?)2pn??为
ξ的方差. 显然D??0，故???D?.??为ξ的
根方差或标准差.随机变量ξ的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动，集中与离散的程度.D?越小，稳定性越高，波动越小. ．．．．．．．．．．．．．．4.方差的性质.
?随机变量??a??b的方差D(?)?D(a??b)?a2D?.（a、b均为常数） ?单点分布：D??0 其分布列为P(??1)?p ?两点分布：D??pq 其分布列为：（p + q = 1） ?二项分布：D??npq
三、正态分布.（基本不列入考试范围）
1.密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量ξ，位于x轴上方，ξ落在任一区间[a,b)内的
y概率等于它与x轴.直线x?a与直线x?b所围成的曲边梯形的面积 （如图阴影部分）的曲线叫ξ的密度曲线，以其作为 图像的函数f(x)叫做ξ的密度函数，由于―x?(??,??)‖ ▲ξ P 0 q 1 p y=f(x)是必然事件，故密度曲线与x轴所夹部分面积等于1.
abx(x??)22?22. ?正态分布与正态曲线：如果随机变量ξ的概率密度为：f(x)?12??e?. （x?R,?,?第 28 页 共 31 页
2012年高考数学（理科）基础知识归纳
为常数，且??0），称ξ服从参数为?,?的正态分布，用?～N(?,?2)表示.f(x)的表达式可简记为N(?,?2)，它的密度曲线简称为正态曲线.
?正态分布的期望与方差：若?～N(?,?2)，则ξ的期望与方差分别为：E???,D???2. ?正态曲线的性质.
①曲线在x轴上方，与x轴不相交. ②曲线关于直线x??对称.
③当x??时曲线处于最高点，当x向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出―中间高、两边低‖的钟形曲线.
④当x＜?时，曲线上升；当x＞?时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向x轴无限的靠近. ⑤当?一定时，曲线的形状由?确定，?越大，曲线越―矮胖‖.表示总体的分布越分散；?越小，曲线越―瘦高‖，表示总体的分布越集中.
回归分析和独立性检验
第一步：提出假设检验问题 H0：吸烟与患肺癌没有关系? H1：吸烟与患肺癌有关系
n(ad?bc)2第二步：选择检验的指标 K?（它越小，原假设“H0：吸
(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)烟与患肺癌没有关系”成立的可能性越大；它越大，备择假设“H1：吸烟与患肺癌有关系”成立的可能性越大.
2n?xiyi?nxy??i?1??b?n回归直线方程的求法：?xi2?n(x)2 ??i?1???a?y?bx数学归纳法
?第一数学归纳法：①证明当n取第一个n0时结论正确；②假设当n?k（k?N?,k?n0）时，结论正确，证明当n?k?1时，结论成立.
?第二数学归纳法：设P(n)是一个与正整数n有关的命题，如果 ①当n?n0（n0?N?）时，P(n)成立；
②假设当n?k（k?N?,k?n0）时，P(n)成立，推得n?k?1时，P(n)也成立. 那么，根据①②对一切自然数n?n0时，P(n)都成立.
零点定理
?零点定理：设函数f（x）在闭区间[a,b]上连续，且f(a)?f(b)?0.那么在开区间(a,b)内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点?（a＜?＜b）使f(?)?0.
导 数
第 29 页 共 31 页
2012年高考数学（理科）基础知识归纳
1. 导数（导函数的简称）的定义：设x0是函数y?f(x)定义域的一点，如果自变量x在x0处有增量?x，则函数值y也引起相应的增量?y?f(x0??x)?f(x0)；比值?yf(x0??x)?f(x0)称为函数y?f(x)在点x0到x0??x之间的平均变化率；如果极限??x?xf(x0??x)?f(x0)?y存在，则称函数y?f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做?lim?x?0?x?x?0?xlim记作f'(x0)或y'|x?x0，即f'(x0)=limy?f(x)在x0处的导数，
f(x0??x)?f(x0)?y. ?lim?x?0?x?x?0?x注?x是增量，我们也称为―改变量‖，因为?x可正，可负，但不为零.
2. 导数的几何意义：
函数y?f(x)在点x0处的导数的几何意义就是曲线y?f(x)在点(x0,f(x))处的切线的斜率，也就是说，曲线y?f(x)在点P(x0,f(x))处的切线的斜率是f'(x0)，切线方程为
y?y0?f'(x)(x?x0).
3. 求导数的四则运算法则：
(u?v)'?u'?v'?y?f1(x)?f2(x)?...?fn(x)?y'?f1'(x)?f2'(x)?...?fn'(x)
(uv)'?vu'?v'u?(cv)'?c'v?cv'?cv'（c为常数）
vu'?v'u?u?(v?0) ???v2?v?'注： u,v必须是可导函数.
4. 复合函数的求导法则：fx'(?(x))?f'(u)?'(x)或y'x?y'u?u'x 复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.
5. 函数单调性：
?函数单调性的判定方法：设函数y?f(x)在某个区间内可导，如果f'(x)＞0，则y?f(x)为增函数；如果f'(x)＜0，则y?f(x)为减函数. ?常数的判定方法；
如果函数y?f(x)在区间I内恒有f'(x)=0，则y?f(x)为常数.
注：①f(x)?0是f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如y?2x3在(??,??)上并不是都有f(x)?0，有一个点例外即x=0时f（x） = 0，同样f(x)?0是f（x）递减的充分非必要条件.
②一般地，如果f（x）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f（x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的. 6. 极值的判别方法：（极值是在x0附近所有的点，都有f(x)＜f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的极大值，极小值同理）
当函数f(x)在点x0处连续时，
第 30 页 共 31 页
2012年高考数学（理科）基础知识归纳
①如果在x0附近的左侧f'(x)＞0，右侧f'(x)＜0，那么f(x0)是极大值； ②如果在x0附近的左侧f'(x)＜0，右侧f'(x)＞0，那么f(x0)是极小值.
也就是说x0是极值点的充分条件是x0点两侧导数异号，而不是f'(x)=0. 此外，函数不
①
可导的点也可能是函数的极值点. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.
②
注①： 若点x0是可导函数f(x)的极值点，则f'(x)=0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点x0是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零. 例如：函数y?f(x)?x3，x?0使f'(x)=0，但x?0不是极值点.
②例如：函数y?f(x)?|x|，在点x?0处不可导，但点x?0是函数的极小值点.
8. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.
注：函数的极值点一定有意义. 9. 几种常见的函数导数：
I.C'?0（C为常数） (sinx)?cosx
'(xn)'?nxn?1（n?R） (cosx)'??sinx
II. (lnx)'?11 (logax)'?logae xx(ex)'?ex (ax)'?axlna 复数
1. ?复数的单位为i，它的平方等于－1，即i2??1.
?常用的结论：
i2??1,i4n?1?i,i4n?2??1,i4n?3??i,i4n?1
in?in?1?in?2?in?3?0,(n?Z)
(1?i)2??2i,
1?i1?i?i,??i 1?i1?i第 31 页 共 31 页