函数中因动点产生的相似三角形问题
例题 如图1，已知抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B。
⑴求抛物线的解析式；（用顶．点．式．求得抛物线的解析式为
1y??x2?x）
4⑵若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标；
⑶连接OA、AB，如图2，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△OBP与△OAB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。
分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线为四边形的边．．．．．．．和对角线来考虑问题以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按OB为边和对角线两种情况
- 一 -
yAOBxOyABx图1 例1题图
图2
2. 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径
① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边．
和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角．形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。
②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。
③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而
用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。
练习1、已知抛物线y?ax2?bx?c经过P(?53?3，，3)E?0?0)． ?2，?及原点O(0，??（1）求抛物线的解析式．（由一．般．式．得抛物线的解析式为
253y??x2?x）
33（2）过P点作平行于x轴的直线PC交y轴于C点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC下方的抛物线上，任取一点Q，过点Q作直线QA平
- 二 -
行于y轴交x轴于A点，交直线PC于B点，直线QA与直线PC及两坐标轴围成矩形OABC．是否存在点Q，使得△OPC与△PQB相似？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，说明理由．
（3）如果符合（2）中的Q点在x轴的上方，连结OQ，矩形OABC内的四个三角形△OPC，△PQB，△OQP，△OQA之间存在怎关系？为什么？
练习2、如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A在x轴上，点C在y轴上，将边BC折叠，使点B落在边OA的点D处。已知折叠CE?55，且tan?EDA?34yCOPBQA样的Ex。
（1）判断△OCD与△ADE是否相似？请说明理由； （2）求直线CE与x轴交点P的坐标；
（3）是否存在过点D的直线l，使直线l、直线CE与x轴所围成的三角形和直线l、直线CE与y轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由。
- 三 -
y C B E O D 练习2图 A x
练习3、在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y?ax2?bx?c(a?0)的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，其顶点
3)和(?3，?12)． 的横坐标为1，且过点(2，（1）求此二次函数的表达式；（由一般式得抛物线的解析式为．．．
y??x2?2x?3）
（2）若直线l:y?kx(k?0)与线段BC交于点D（不与点B，C重合），则是否存在这样的直线l，使得以B，O，D为顶点的三角形与△BAC相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D的坐标；若不存在，请说明
0)B(3，0),C(0，3) 理由；A(?1，，（3）若点P是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任
x ?PCO与?ACO的大小（不必证明）意一点，试比较锐角，并写出此时点y l P的横坐标xp的取值范围．
P C
A A B y o C B x x?1 练习4图
练习3图
- 四 -
练习4 (2008广东湛江市) 如图所示，已知抛物线y?x2?1与x轴交于A、
O
B两点，与y轴交于点C．
（1）求A、B、C三点的坐标．
（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积． （3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG?x轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与?PCA相似．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．
练习5、已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，
?ACB?9030)，C(1，0)，tan?BAC?． ，点A，C的坐标分别为A(?3，40)，C(1，0)，B（1）求过点A，B的直线的函数表达式；点A(?3，y?39x? 44(1，3)，
（2）在x轴上找一点D，连接DB，使得△ADB与△ABC相似（不包括
- 五 -