如图2：准确画出两条直线。 练习3
解：（1）二次函数图象顶点的横坐标为1，且过点(2，3)和(?3，?12)，
?b??2a?1，?a??1，???由?4a?2b?c?3， 解得?b?2，
?c?3.?9a?3b?2??12.????此二次函数的表达式为 y??x2?2x?3．
（2）假设存在直线l:y?kx(k?0)与线段BC交于点D（不与点B，C重合），使得以B，O，D为顶点的三角形与△BAC相似．
在y??x2?2x?3中，令y?0，则由?x2?2x?3?0，解得x1??1，x2?3
?A(?1，，0)B(3，0)．
3)． 令x?0，得y?3．?C(0，x 设过点O的直线l交BC于点D，过点D作DE⊥x轴于点E． C l 0)，点C的坐标为(0，3)，点A的坐标为点B的坐标为(3，，0)． D (?1?AB?4，OB?OC?3，?OBC?45.
A O E B y ?BC?32?32?32．
要使△BOD∽△BAC或△BDO∽△BAC， 已有?B??B，则只需或
BOBC?BDBA.
BDBC?BOBA， ①
x?1 ②
成立．
- 十一 -
若是①，则有BD?BOBCBA?3?3292?44．
而?OBC?45，?BE?DE．
?在Rt△BDE中，由勾股定理，得
?92?2222BE?DE?2BE?BD???4????2．
解得
BE?DE?9（负值舍去）． 493?． 44?OE?OB?BE?3??39??点D的坐标为?，?．
?44?将点D的坐标代入y?kx(k?0)中，求得k?3．
?满足条件的直线l的函数表达式为y?3x．
［或求出直线AC的函数表达式为y?3x?3，则与直线AC平行的直线l的函数表达式为y?3x．此时易知△BOD∽△BAC，再求出直线BC的函数表
39?达式为y??x?3．联立y?3x，y??x?3求得点D的坐标为?］ ?，?．
?44?若是②，则有BD?BOBABC?3?4?22． 32而?OBC?45，?BE?DE．
?在Rt△BDE中，由勾股定理，得BE?DE?2BE?BD?(22)2．
2222解得 ． BE?DE?2（负值舍去）
?OE?OB?BE?3?2?1．
2)． ?点D的坐标为(1，将点D的坐标代入y?kx(k?0)中，求得k?2．
∴满足条件的直线l的函数表达式为y?2x．
- 十二 -
，使得?存在直线l:y?3x或y?2x与线段BC交于点D（不与点B，C重合）
39?以B，O，D为顶点的三角形与△BAC相似，且点D的坐标分别为??，?或
?44?(1，2)．
（3）设过点C(0，，3)E(1，0)的直线y?kx?3(k?0)与该二次函数的图象交于点
P．
0)的坐标代入y?kx?3中，求得k??3． 将点E(1，?此直线的函数表达式为y??3x?3．
?3x?3)，并代入y??x2?2x?3，得x2?5x?0． 设点P的坐标为(x，解得x1?5，x2?0（不合题意，舍去）．
?x?5，y??12． ?12)． ?点P的坐标为(5，x 此时，锐角?PCO??ACO． 又二次函数的对称轴为x?1，
3)． ?点C关于对称轴对称的点C?的坐标为(2，C · C? A O E B ?当xp?5时，锐角?PCO??ACO；
x?1 P 当xp?5时，锐角?PCO??ACO；
当2?xp?5时，锐角?PCO??ACO．
练习四
解：（1）令y?0，得x2?1?0 解得x??1 令x?0，得y??1
∴ A(?1,0) B(1,0) C(0,?1)
（2）∵OA=OB=OC=1 ∴?BAC=?ACO=?BCO=45 - 十三 -
y P A o C B 图1 x
∵AP∥CB， ∴?PAB=45
过点P作PE?x轴于E，则?APE为等腰直角三角形 令OE=a，则PE=a?1 ∴P(a,a?1) ∵点P在抛物线y?x2?1上 ∴a?1?a2?1 解得a1?2，a2??1（不合题意，舍去） ∴PE=3
∴四边形ACBP的面积S=1AB?OC+1AB?PE=1?2?1?1?2?3?4
2222(3)． 假设存在
∵?PAB=?BAC =45 ∴PA?AC
∵MG?x轴于点G， ∴?MGA=?PAC =90 在Rt△AOC中，OA=OC=1 ∴AC=在Rt△PAE中，AE=PE=3 ∴AP= 设M点的横坐标为m，则M
2 32
(m,m2?1)
①点M在y轴左侧时，则m??1 (ⅰ) 当?AMG ∽?PCA时，有
AGPA=MGCA2
M y P ∵AG=?m?1，MG=m2?1即?m?1?m32?1 2
G A 解得m1??1（舍去）
2m2?（舍去）
3AGCAoC 图2 B x(ⅱ) 当?MAG ∽?PCA时有即
=MGPA
?m?1m2?1解得：m??1（舍去） m2??2 ?232- 十四 -
∴M(?2,3)
② 点M在y轴右侧时，则m?1 (ⅰ)
当?AMG ∽?PCA时有
AGPAy =MGCA
P M ∵AG=m?1，MG=m2?1 ∴
m?1m?1 解得m1??1（舍去） m2?4 ?33222A oC 图3 G B x ∴M(4,7)
39(ⅱ) 当?MAG∽?PCA时有AG=MG
CAPA即
m?1m2?1 ?232解得：m1??1（舍去） ∴M(4,15)
m2?4
∴存在点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与?PCA相似 M点的坐标为(?2,3)，(4,7)，(4,15)
39 练习5、
0)，C(1，0) 解：（1）点A(?3，?AC?4，BC?tan∠BAC?AC?3?4?3，B点坐标为(1，3) 4设过点A，B的直线的函数表达式为y?kx?b，
?0?k?(?3)?b由? 得k?3，b?9?直线AB的函数表达式为y?3x?9
y 4444?3?k?bB - 十五 -
P A O Q C 图1
D x
（2）如图1，过点B作BD?AB，交x轴于点D， 在Rt△ABC和Rt△ADB中，
∠BAC?∠DAB
tABC∽ ?R△R△tADB ，
?D点为所求又tan∠ADB?tan∠ABC?4， 3?CD?BC?tan∠ADB?3?4913?13???OD?OC?CD?，?D?，0? 3444??（3）这样的m存在
在Rt△ABC中，由勾股定理得AB?5如图1，当PQ∥BD时，△APQ∽△ABD 则m?53?13?m254m?，解得 1393?4A y B P 如图2，当PQ?AD时，△APQ∽△ADB 则
m?133?43?13?m4，解得m?125
365Q O C 图2
D x
- 十六 -