北京市昌平区2014届高三4月第二次统练（二模）
数 学 试 卷（文 科） 2014.4
考生须知：
10.本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。
11.答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。 12.答题卡上第I卷(选择题)必须用2B铅笔作答，第II卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B铅笔。请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。
13.修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。不得在答题卡上做任何标记。
14.考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）
(1) 在复平面内，复数i(1?i)对应的点位于
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限
（D）第四象限
(2) 已知等差数列{an}中，a2?4,a6?12，则{an}的前10项和为
（A）90 （B）100 （C）
110 （D）120
c2?a2 (3) 在?ABC中，若2?1，则?C的大小为
b?ab（A）
(4) 已知命题p:?x?R,使得x??2?5??? （B） （C） （D）
36631?2；命题q:?x?R,x2?0.则下列命题为真命题的是 x（A）p?q （B）p?q （C）p??q （D）p??q (5) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 （A）12 （B）36
46主视图 主视图 3左视图 左视图
俯视图 俯视图
（C）24
（D）72
(6) 下列函数中，对于任意的x1,x2?R，满足条件（A）y?log2x （B）y??f(x2)?f(x1)?0(x1?x2)的函数是
x2?x11 （C）y?2x （D）y?tanx x
(7)假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天的回报比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报是前一天的两倍.
若投资的时间为8:10天，为使投资的回报最多，你会选择哪种方案投资？ （A）方案一 （B）方案二 （C）方案三 （D）都可以
?1??1, x?1,(8) 已知f(x)??x，若f(x)?k(x?1)恒成立，则k的取值范围是
??lnx, 0?x?1（A）(1,??) （B）(??,0] （C）(0,1)
（D）[0,1]
第二卷（非选择题 共110分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）
(9) 若直线ax?2y?1?0与直线2x?3y?1?0平行，则a?______ .
?x?y?5?0,?(10) 已知实数x,y满足?x?3,则z?x?2y的最小值为_____ .
?x?y?0,?3x2y2(11) 已知双曲线2?2?1,(a?0,b?0)的焦距为10，一条渐近线的斜率为，则此双曲线的标
4ab准方程为______，焦点到渐近线的距离为_____ .
(12) 执行右边的程序框图，若输入的N是4，
则输出p的值是______ .
(13)已知矩形ABCD中，AB?2,BC?1，在矩形ABCD内随机取一点M,则?AMB?90的概
率为__________ .
?uuuruuur(14) 在边长为2的菱形ABCD中，?BAD?60，若P为CD的中点，则AP?BD的值为____;若
?uuuruuuruuuruuur点E为AB边上的动点，点F是AD边上的动点，且AE??AB，AF?(1??)AD， 0???1，
uuuruuur则DE?BF的最大值为________ .
三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
(15)(本小题满分13分)
已知函数f(x)?cosx(3sinx?cosx),x?R. （Ⅰ）求f(x)的最小正周期及值域； （Ⅱ）求f(x)单调递增区间. (16)(本小题满分13分)
某学校为调查高一新生上学路程所需要的时间（单位：分钟），从高一年级新生中随机抽取100名新生按上学所需时间分组：第1组(0,10]，第2组(10,20]，第3组(20,30]，第4组(30,40]，第5组(40,50]，得到的频率分布直方图如图所示. （Ⅰ）根据图中数据求a的值
0.035频率/组距频率/组距
0.03a0.010.0050（Ⅱ）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取 6名新生参与交通安全问卷调查，应从第3，4，5组 各抽取多少名新生？
时间 （分钟）时间（分钟） （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，该校决定从这6名新生中随机抽取2名新生参加交通安全宣传活动，求
1020304050第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.
(17)(本小题满分14分)
M是DD1的中点. 已知正四棱柱ABCD?A1BC11D1中，
（I）求证：BD1//平面AMC； （II）求证：AC?BD1；
（III）在线段BB1上是否存在点P，当
BP平面A??时，1PC1//BB1平
面AMC？若存在，求出?的值并证明；若不存在，请说明理由.
(18)(本小题满分13分)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d?2，且S5?4a3?6. （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； (Ⅱ)设数列{bn}是首项为1，公比为c的等比数列，求数列{bn}的前n项和Tn. an
(19)(本小题满分13分) 已知函数f(x)?a3x?x2?2ax?1，f'(?1)?0. 3（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；
（Ⅱ）如果对于任意的x?[?2,0)，都有f(x)?bx?3，求b的取值范围.
(20)(本小题满分14分)
x2y2已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的焦点为F点P是椭圆C上的一点，PF1,0),F2(1,0)，1(?1ab与y轴的交点Q恰为PF1的中点，OQ?（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若点A为椭圆的右顶点，过焦点F1的直线与椭圆C交于不同的两点M,N,求?AMN面积的取值范围.
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北京市昌平区2014届高三4月第二次统练（二模） 数学试卷（文科）参考答案及评分标准 2014.4
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 题 号 答 案
（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） A C C B A C B D 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.） （9）?4 （10）?3
x2y2??1（11）16； 3 （12）24 9（13）1??3； （14）1 ；? 42（注：第一空2分，第二空3分）
三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
(15)(本小题满分13分)
解：(Ⅰ) 因为f(x)?cosx(3sinx?cosx) ?3sinxcox?s2 s ………1分 cox?311sin2x?cos2x? ………3分 222 ?sin(x2?所以T??1?) ， ………4分 622??? . ………6分 2因为x?R， 所以?1?sin(2x?所以??6)?1. ………7分
1?13?sin(2x?)??. 262213所以f(x)的值域为[?,]. ………8分
22 (Ⅱ) 因为 ??2622???2k??2x??2k? . ………11分 所以 ?33
?2k??2x?????2k?， ………10分