分析： （I）先求出椭圆的焦点坐标，再根据双曲线的定理求出a，b，c，从而求出双曲线的方程；
（II）由（1）得双曲线的右准线方程，从而求出p，这样就可求出抛物线的标准方程． 解答： 解：（I）由椭圆方程得焦点由条件可知，双曲线过点（3，﹣2） 根据双曲线定义，2a=即得
，所以
…（7分）
，…（9分）
=2
…（5分）
，…（2分）
双曲线方程为：
（II）由（1）得双曲线的右准线方程为：∴
…（13分）
…（11分）
从而可得抛物线的标准方程为：…（15分）
点评： 本题主要考查了双曲线的标准方程，在求曲线方程的问题中，巧设方程，减少待定系数，是非常重要的方法技巧．特别是具有公共焦点的两种曲线，它们的公共点同时具有这两种曲线的性质，解题时要充分注意．
2
16．（13分）已知直线l：y=x+m与抛物线y=8x交于A、B两点， （1）若|AB|=10，求m的值； （2）若OA⊥OB，求m的值．
考点： 直线与圆锥曲线的关系． 专题： 计算题．
分析： （1）把直线方程与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2，利用弦长公式可求；
（2）由于OA⊥OB，从而有x1x2+y1y2=0，利用韦达定理可得方程，从而求出m的值． 解答： 解：设A（x1，y1）、B（x2，y2） （1）
x+（2m﹣8）x+m=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
2
2
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）
，
﹣﹣﹣﹣（5分）
11
∵m＜2，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分） （2）∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）
2
x1x2+（x1+m）（x2+m）=0，2x1x2+m（x1+x2）+m=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分） 222
2m+m（8﹣2m）+m=0，m+8m=0，m=0orm=﹣8，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）
经检验m=﹣8﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分） 点评： 本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理得运用，考查等价转化问题的能力． 17．（13分）已知椭圆C的两焦点分别为F1（﹣2，0）、F2（2，0），长轴长为6， （1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知过点（0，2）且斜率为1的直线交椭圆C于A、B两点，求线段AB的长度．
考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 专题： 计算题． 分析： （1）由
，长轴长为6，能得到椭圆方程．
（2）设
2
，由椭圆方程为，直线AB的方程为y=x+2
得10x+36x+27=0，由此能得到线段AB的长度． 解答： 解：（1）由得：∴椭圆方程为
所以b=1
…（5分）
，长轴长为6
（2）设，由（1）可知椭圆方程为①，
∵直线AB的方程为y=x+2②…（7分）
2
把②代入①得化简并整理得10x+36x+27=0 ∴
…（10分）
又…（12分）
点评： 本题考查椭圆方程的求法和弦长的运算，解题时要注意椭圆性质的灵活运用和弦长公式的合理运用．
12
18．（14分）双曲线C的中心在原点，右焦点为
，渐近线方程为
．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx+1与双曲线C交于A、B两点，问：当k为何值时，以AB为直径的圆过原点．
考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的标准方程． 专题： 综合题．
分析： （Ⅰ）设双曲线的方程是此能求出双曲线的方程． （Ⅱ）由
，得（3﹣k）x﹣2kx﹣2=0，由△＞0，且3﹣k≠0，得
2
2
2
，则，．由
，
且 ．设A（x1，y1）、B（x2，y2），由以AB为直径的圆过原点，知 x1x2+y1y2=0．由此能够求出k=±1．
解答： 解：（Ⅰ）设双曲线的方程是
，则
，
．
又∵c=a+b，∴b=1，
2
2
2222
．
所以双曲线的方程是3x﹣y=1． （Ⅱ）①由
2
2
得（3﹣k）x﹣2kx﹣2=0，
由△＞0，且3﹣k≠0，得，且 ． 设A（x1，y1）、B（x2，y2），因为以AB为直径的圆过原点，所以OA⊥OB， 所以 x1x2+y1y2=0． 又
，
2
2
，
所以 y1y2=（kx1+1）（kx2+1）=kx1x2+k（x1+x2）+1=1， 所以
，解得k=±1．
点评： 本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要认真审题，注意双曲线性质的灵活运用，合理地进行等价转化．
13
19．（14分）设椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，过原点O斜率为1的直线l
与椭圆C相交于M，N两点，椭圆右焦点F到直线l的距离为． （Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P是椭圆上异于M，N外的一点，当直线PM，PN的斜率存在且不为零时，记直线PM的斜率为k1，直线PN的斜率为k2，试探究k1?k2是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．
考点： 椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题． 专题： 计算题．
分析： （I）设椭圆的焦距为2c（c＞0），F（c，0），直线l：x﹣y=0，F到l的距离为解得c，进一步求得a，b的值，从而写出椭圆C的方程；
，
（Ⅱ）由解得，或，表示出直线PM和PN的斜率，求的
两直线斜率乘积的表达式，把y和x的表达式代入发现结果与p无关． 解答： 解：（I）设椭圆的焦距为2c（c＞0），F（c，0），直线l：x﹣y=0，F到l的距离为
，解得c=2．又∵
，∴
，∴b=2．
∴椭圆C的方程为．（6分）
（Ⅱ）由解得，或，
不妨设，P（x，y），
∴，
由，即x=8﹣2y，代入化简得
22
为定值．（12分）
点评： 本题主要考查了圆锥曲线的共同特征．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．
20．（14分）已知椭圆C1：（1）求椭圆C2的方程；
14
+y=1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．
2
（2）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，=2，求直线AB的方程．
考点： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质． 专题： 综合题；压轴题． 分析： （1）求出椭圆
的长轴长，离心率，根据椭圆C2以C1的长轴为短
轴，且与C1有相同的离心率，即可确定椭圆C2的方程； （2）设A，B的坐标分别为（xA，yA），（xB，yB），根据分别与椭圆C1和C2联立，求出A，B的横坐标，利用解答： 解：（1）椭圆
，可设AB的方程为y=kx，，即可求得直线AB的方程．
的长轴长为4，离心率为
∵椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率 ∴椭圆C2的焦点在y轴上，2b=4，为∴b=2，a=4 ∴椭圆C2的方程为
；
（2）设A，B的坐标分别为（xA，yA），（xB，yB）， ∵
∴O，A，B三点共线，且点A，B不在y轴上 ∴设AB的方程为y=kx 将y=kx代入
，消元可得（1+4k）x=4，∴
2
2
将y=kx代入，消元可得（4+k）x=16，∴
22
∵∴
，∴=4，
，解得k=±1，
∴AB的方程为y=±x
点评： 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是掌握椭圆几何量关系，联立方程组求解．
15