第一章 热力学基本概念与基本规律
1、假定压强不太大时1mol实际气体的物态方程可表示为
pV?RT?1?bp?
b只是温度的函数试求此气体的定压膨胀系数和等温压缩系数。
解：由pV?RT?1?bp?得
Rdb??V?RT??V? ?1?bp?RT????????2dTp??T?pp??p?T??1??V?1pdb1??V?1 ????????T?V??T?pT1?bpdTV??pp1?bp????T2、设某气体可以用范德瓦尔斯方程描述，求气体的定压膨胀系数?和定容压强系数
?。
?an2?解：由范德瓦尔斯方程 ?p+2??V?nb??nRT 得
V??nRV3??V? ???32??T?ppV?an?2nb?V?nR??p? ?????T?VV?nb1??V?nRV2故 ??? ??V??T?ppV3?an2?2nb?V???1??p?nR ???p??T?Vp?V?nb?2（附加）：试求理想气体的体胀系数?，压强系数?和等温压缩系数?T。
T 解： 由理想气体的物态方程pV?nR
得
??1??V?nR1 ????V??T?ppVT1??p?nR1? ???p??T?VpVT
??
?T???11??V??1??nRT??????????p2???p V??pV????T??p??V?V??p?、，试求其物态方程。 ??????p??T?VT??p?T3、设某气体满足关系：?解：由式?p??p?积分可得： ????T?VTpA?V? lnp?lnT?lnA?V? ln?lnTp?A?V? p?TA?V? T将式p?TA?V?对V求偏导有
??V???V?1dVV 且与式 比较得 ?????p???p??TTdA??p?TdVV1dVVV?? 积分有 ????
dAATdApATlnA?lnp?C11?lnC A?C 代入式 p?TA?V? 得 VVT 或 pV?CT V设T??（用T?表示）时，p?p?、V?V?，则
p?V??CT?
由于T??时，一切气体趋于理想气体，所以有
p?V??nRT? 与式 p?V??CT? 相比较得
C?nR 代入式 pV?CT 即得气体的物态方程
pV?nRT 即此气体是理想气体。
4、设某气体的定压膨胀系数??为常数，求此气体的物态方程。
解：由定压膨胀系数、等温压缩系数的定义??1anR，等温压缩系数?T??，其中n、R和?pVpV1??V?1??V?、和题?????T??V??T?pV??p?T设??1anR、?T??可得：
pVpVnR??V?V??V?，????a ????pp??T?p??p?T由循环关系???V???p???T???????1可得： ???p?T??T?V??V?pnR??p? ?????T?VV?ap积分
??V?ap??p??VVnR?T有
1pV?nRT?ap2
25、已知某气体的定压膨胀系数??TRaf?p?，等温压缩系数??式中R、?2，
VpVTV?为常数，试求出函数f?p?和系统的物态方程。
解 由定压膨胀系数、等温压缩系数的定义??1??V?1??V?、和题设???????V??T?pV??p?T??TRa?2、??f?p?可得：
VpVTVRa??V???V? 、 ??????p??Tf?p? 2?TpT??p??T由式 ?Ra??V???2 积分可得： ??TpT??pV?apRaT? 或 pV?RT? 此即系统的物态方程。
TpT将式V?RaT?对p求偏导有 pT??V???V?RT且与式 ??? 比较得 ??p???p??Tf?p2p??T??TTf?p???RT 2pR p2故函数 f?p???
6、对于以T、p为独立变量的系统，证明其物态方程可由实验测得的体胀系数?，及等温压缩系数?T，根据下述积分求得：
lnV????dT??Tdp?。
如果??11，?T?，试求物态方程。 Tp解 以T、p为独立参量，系统的物态方程为：V?V?T,p? 其全微分为： dV????V???V?dT?dp ?????T?p??p?T全式除以V，有
dV1??V?1??V???dT?dp ???VV??T?pV??p?T由??1??V?1??V? 和 ?????T?有
V??T?pV??p??TdV??dT??Tdp V积分可得 lnV?7、某固体的?????dT??Tdp?
2aT?bpbT 、 ??，其中a、b为常数，试求其物态方程。 VV解 由定压膨胀系数、等温压缩系数的定义??1??V?1??V?、和???????V??T?pV??p?T题设??2aT?bpbT、??可得： VV??V???V?、?2aT?bp????p??bT
?T??p??T将式???V?2??2aT?bp积分有： V?aT?bpT?A?p?并对p求偏导得 ??T?p??V???V?dA 与式 ??bT??bT 比较有 ??p???dp??T??p?T?bT?dAdA?bT或?2bT积分得 dpdpA?2bTp+C代入式V?aT2?bpT?A?p?有
V?aT2?bpT+C
8、实验测得顺磁物质的 ?HCH??H???m?， 。式中H为磁场强??????2T??T?mT??T?H度，m为磁化强度，C为常数。求顺磁物质的物态方程。
解 由式?H??H?积分得 ????T?mTT?f?m?或T?Hf?m?。对m求偏导有 H?f?m???T? ???H?m??m?HCH?m??m???m?与式比较 ???????2T??T?H??T?HH?f?m?TCH2?mCH??2积分m??2f?m? 而f?m??
HTH?f?m?T故得物态方程为：m?CH T9、描述金属丝的几何参量是长度L，力学参量是张力f，物态方程为F?f,L,T??0。实验通常在1Pn下进行，且体积变化可以忽略。
线胀系数定义为
??1??L??? L??T?fL??f??? A??L?T等温杨氏模量定义为 Y?其中A为金属丝的截面积。一般来说，?和Y是T的函数，对f仅有微弱的依赖关系，如果温度变化范围不大，可以看作常量。假设金属丝两端固定，试证明当温度由T1降至T2时，其张力的增加量为
?f??YAa?T2?T1?
解 由物态方程 F?f,L ,T??0知偏导数间存在以下关系：
??L?????T?f所以，有
??T???f???f???L???1 ??L??TA??f???L???f?????La?Y??aAY ??????L??T?L??T?f??L?T积分得
?f??YAa?T2?T1?