10、1mol理想气体在恒温下膨胀，经准静态过程，压强由p1变至p2，求该气体对外所作的功和吸收的热量。
解 1mol理想气体的物态方程pV?RT
准静态等温过程中气体体积由V1膨胀到V2，外界对气体所作的功为
W???pdV???V1V2V2V1dVVp??RTln2??RTln1 VV1p2气体对外所作的功为
W???W?RTlnp1 p2等温过程中理想气体的内能不变，即?U?0。
根据热力学第一定律，气体在等温过程中吸收的热量Q为
Q??W?RTlnop1 p2?311、在0C和1Pn下，空气的密度为1?29kg?m。空气的??1.41，空气的定压比
热容为Cp?0.996?10J?kg?K。今有27m的空气，试计算：
（1）若维持体积不变，将空气由0C加热到20C所需的热量。 （2）若维持压强不变，将空气由0C加热到20C所需的热量。
（3）若容器有裂缝，外界压强为1Pn，将空气由0C加热到20C所需的热量。 解 （1）由空气的密度可得27m空气的质量m1为
3
oooooo3?1?13
m1?1.29?27?34.83（kg）
空气的定容比热容为
0.996?103CV??J?kg?1?K?1?0.706?103J?kg?1?K?1
?1.41维持体积不变，将空气由0C加热到20C所需的热量QV为
35J） QV?mC1V?T2?T1??34.83?0.706?10?20?4.920?10（
ooCp（2）维持压强不变，将空气由0C加热到20C所需的热量Qp为
oo35J） Qp?mC1p?T2?T1??34.83?0.996?10?20?6.938?10（
（3）若容器有裂缝，加热过程中气体将从裂缝漏出，使容器内空气质量发生变化。根据气体的物态方程pV?mRT（M为空气的平均摩尔质量），在压强和体积不变的条M件下，容器内气体的质量与温度成反比。以m1、T1表示气体在初态的质量和温度，m表示温度为T时气体的质量，有
m1T1?mT
所以容器有裂缝，外界压强为1Pn，将空气由0C加热到20C所需的热量Q为
ooQ?Cp?m?T?dT?m1T1Cp?T1T2T2T1dTT?m1T1Cpln2 TT1293?6.678?105（J） 273代入数值，得
Q?34.83?273?0.996?103ln12、抽成真空的的小匣带有活门，打开活门让气体进入，当压强达到外界压强p0时将活门关上。试证明：小匣内的空气在没有与外界交换热量之前，它的内能U与原来在大气中的内能U0之差为U?U0?p0V0，其中V0是它在大气中的体积。若气体可看成理想气体，大气的温度为T0，小匣的体积为V，试求它在匣内的温度T，以及它原来在大气中的体积V0与V的关系。
解 将冲入小匣内的空气看作系统，系统冲入小匣后的内能U与原来在大气中的内能
U0之差由 U?U0?W?Q 确定。
由于过程进行得很迅速，过程中系统与外界没有热量交换，Q?0。 过程中外界对系统作的功可以分为W1和W2两部分考虑：
W1为大气将系统压入小匣，使其在大气中的体积由V0变为零，可看作等压过程，大
气对系统所作的功。W1??p0?V?p0V0
W2为系统冲入小匣的过程中，外界阻力对系统所作的功。小匣抽成真空，系统冲入
小匣的过程中不受外界阻力，所以 W2?0
故 U?U 0?p0V0若气体可看成理想气体，则
p0V0?nRT0 CV?nR ??1U??CVdT?U0
ToT温度变化范围不大，理想气体的热容和?看成常数，故
U?CV?T?T0??U0?nR?T?T0??U0 ??1U?U0?nR?T?T0??p0V0?nRT0 ??1T??T0
由理想气体物态方程 pV?nRT 且p?p0 可得
V??V0
15、声波在气体中的传播速度为????p?（1）绝????假设气体为理想气体，试证明：
??s热指数???2?p；（2）当定压热容量和定容热容量可看成常数时，该气体单位质量的内能u和焓h可用速度和?表示如下
?2?2u??常数，h??常数
????1????1?解： （1） 根据式????p?????，得 ??s?2??其中v???p?2??p???v?? ???v?s????sdpdv???0得 pv1?是介质的比体积（单位质量的体积）。由
p??p? ????v??v?s因此
???pv??2p? 即得???2?p
（2）根据式???2?p，声速?的平方为
?2??pv，
其中v是单位质量的气体体积。理想气体的物态方程可表示为
pV?mRT M式中m是气体质量，M是气体的摩尔质量。对于单位质量的气体，
pv?代入式
1RT M?2??pv 得
?MRT
a2?以u,h表示理想气体的比内能和比焓（单位质量的内能和焓）。由式CV?nR，??1Cp??nR，U?CVT?U0，H?CpT?H0知 ??1RT?Mu0 ??1Mu?Mh?将式a?2?RT?Mh0 ??1RT代入，即有
?Ma2u??u
?(??1)0a2h??h0
??1表明，如果气体可以看作理想气体，测定气体中的声速和?即可确定气体的比内能和比焓。
16、满足pV?C的过程称为多方过程，其中常数n为多方指数，试证明，理想气体在多方过程中的热容量Cn为 Cn?nn??CV。 n?1证明：由热容量的定义Cn?lim??T?o??Q???U????????T?n??T?n??V?p??。 ??T?n对于理想气体，内能U只是温度T的函数，
??U????CV， ?T??n所以
??V?Cn?CV?p??。
??T?n将多方过程方程pVn?C与理想气体的物态方程联立，消去压强p可得
。 TVn?1?C（常量）1微分，有
Vn?1dT??n?1?Vn?2TdV?0
所以
V??V? ?????n?1?T??T?n代入式Cn?CV?p???V??，即得 ?T??nCn?CV?pVn???CV
T?n?1?n?117、试证明，在某一过程中理想气体的热容量Cn如果是常数，则该过程一定是多方过程，且多方指数为
n?Cn?CpCn?CV。
证明：根据热力学第一定律，有
dU?dQ?dW
对于准静态过程有
dW??pdV
对理想气体 有
dU?CVdT
气体在过程中吸收的热量为