第四章 随机变量的数字特征
§4.1 数学期望 §4.2 方差
一、填空题
1. 同时投掷三个骰子直到3颗骰子出现的点数之和是奇数时为止，问所需投掷次数的平均值为 2 ；
2.已知随机变量X的分布律为:
X?xi 0 0.2 1 0.3 2 0.1 3 0.2 4 0.3 P?X?xi? 则Y?g(X)?5X2?X?1的期望E(Y)? 37.7 ；
3.已知随机变量X~B?n,p?,E(X)?2.4,D(X)?1.44,则二项分布的参数为 n? 6 , p? 0.4 ；
4. 设随机变量X服从参数为?的泊松分布，且已知E(X?1)(X?2)?2，则?? 2 ； 5. 设随机变量X服从参数为1的指数分布，则数学期望E(X?e?2X)? 4/3 ； 6. 若X、且E(X)?2,E(Y)?5,则E(3X?5Y)?–19 Y是两个相互独立随机变量，.若D(X)?2,D(Y)?5,则D(3X?5Y)? 143 ；
7.已知连续型随机变量X的概率为f(X)?1 ,X的方差为 0.5 ；
8. 设随机变量X的概率分布为P?X?k??二、选择题
Ck!1??x?2x?12e,则X的数学期望为
，k?0,1,2,?，则EX2= 2 。
1. 设X表示5次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.7，则X2的数学期望E?X2?? （A）
（A）13.3； （B）18.4； （C）4.55； （D）1.05.
2. 设随机变量X1,X2,X3相互独立，其中X1服从?0,6?上的均匀分布，
2X2~N(0,2),X3~P(3)，记Y?X1?2X2?3X3，则DY?（A）
（A）46； （B）14； （C）4 ； （D）100. 3. 已知随机变量X的数学期望为?，对任意的c??，正确的是（C） （A）DX?E(X?c)2； （B）DX?E(X?c)2； （C）DX?E(X?c)2 ； （D）DX?E(X?c)2.
4. 设随机变量X的分布函数F?x??0.3??x??0.7???x?1?其中??x?为标准正态分布?，
?2?函数，则EX?（C）
（A）0; (B)0.3 ; (C)0.7; (D)1. 5. 设P?X?n??12n?n?1? ?n?1,2,??，则E?X??（D）
（A）0 ; （B）1 ; （C）0.5 ; （D）不存在.
二、计算下列各题
1. 设球直径的测量值在?a,b?上服从均匀分布,求球体积V的数学期望。
?1,a?x?b?解 设球的直径为X,其概率密度为f(x)??b?a
?0，? 其它?x61b?a3则球的体积Y?g(x)?,dx???1x4ba
E(Y)?E?g(x)???b?6??ax?36?b?a?4??24?a?b??a2?b2?
2. 设随机变量X服从??11??lnx,x?0,?上的均匀分布，y?g?x???22??0, x?0,求
Y?g(x)的数学期望和方差。
11??1,??x?f(x)??22?0, 其它?解 X的概率密度，
1E(Y)?E?g?x????20lnxdx??1?ln22,
EY????2120ln2xdx??ln2?22?ln2?1, D?Y??14?ln2?2?12ln2?34。
3. 在长度为a的线段上任意取两个点M与N，试求线段MN长度的数学期望。
解: 以线段起点为原点，X，Y分别表示点M与N的位置， ∴ X,Y?U(0,a)，
?1?1?1,x?(0,a),y?(0a,),x,y?(0,a)???， fY(y)??a，f(x,y)??a2， fX(x)??a?0, 其它?0, 其它?0, 其它???令Z?X?Y,则Z取值于(0,a)，
FZ(z)?P??z?X?Y?z??这时
???z?x?y?z1a2dxdy?2az?1a2z
22?2??2z,0?z?a∴ fZ(z)??aa
?0, 其它?a0E(Z)??z(2a?1a2z)dz?2a2(12z?211a3z)3a0?2a?a26?a3。
4. 某射手每次命中目标的概率为0.8,连续射击一个目标,直至命中目标一次为止。求射击次数的期望和方差。
解 Ak?“第K次命中目标”,K?1,2?
P?x?k???P(A1A2?Ak?1Ak)=P(A1)P(A2)?P(Ak?1)P(Ak)?(1?0.8)k?1?0.8
?k?1E(x)??k?0.2k?1k?1?0.8?0.8?k?0.2k?1,
?取 S(x)??kxk?1k?1???k??x??x???????1?x?k?1?0.810.8?1?,??2?1?x???x?1,
?2所以 E(x)?(1?0.2)2??1.25, E(x)?2?kk?1?0.2k?1?0.8?0.8?kk?12?0.2k?1,
?取 g(x)??kk?12xk?1????xk?1????xkx?????2???k?1??1?x???1?x??,3???1?x?x＜1
故 E?x2??0.8?1?0.2?1?0.2?3?1.875,
从而 D?x??E?x2???Ex?2?0.3125。
x???Axe2?2,x?05. 设轮船横向摇摆的振幅X的概率密度为f?x????0, x?0 ?2，?为常数
试确定常数A,并求E(X)、D(X)和P?X?E(X)?。
?x22解
?????f?x?dx?A???0xe2?dx??A?e2?x22??02??A??1,A?21?x2
E(X)?1?2???0xe2?x22?dx???xde022???x22?x22222???xe2???0?????0e2?dx?2??2??2?EX?2??1?2?2??0xe3?x令t?dx22x222?2?2?22???0te?tdt??2?2?t0??de?t?2?2
D?X??EX????E?X???2???2???2???2???2???2??P?X?E(X)??1?P?X?E(X)??1????f(x)dx?1??2?1?2?x220xe2?dx?e??46. 设?X、Y?的联合分布为右表
(1) 求E?X?、E?Y?
YX ?1 1 0.2 0.1 0.1 2 0.1 0 0.1 3 0 0.3 0.1 (2) 设Z?Y/X、求E?Z?
0 1 (3) 设W??X?Y?、求E?W?。
2 解 E(Y)??0.2?0.1?0????1???0.1?0?0.3??0??0.1?0.1?0.1??1?0
E(X)??0.2?0.1?0.1??1??0.1?0?0.1??2??0?0.3?0.1??3?2
12
ZP P -1 - 21?13 0 1 13
0.2 0.1 0 0.4 0.1 0.1 0.1 W0 1 4 9 16 0.1 0.2 0.3 0.4 0 11?1?E(Z)?0.2???1??0.1?????0.1?1?0.1??0.1???0.066732?2?
E(W)?0.1?0?0.2?1?0.3?4?0.4?9?0?16?5。
7. 设随机变量X与Y相互独立,且都服从均值为0，方差为1/2的正态分布，
求随机变量X?Y的方差。
解 令Z?X?Y,则Z?N(0,1) fZ(z)?12???0e?z22
E(Z)??????zfZ(z)dz??0???zfZ(z)dz??z2zfZ(z)dz?2? E(Z)?E(Z)?22?????z212?2e?2dz?1
D(X?Y)?D(Z)?E(Z)?E(Z)?1?22?。
8. 箱内有4个白球和5个红球，不放回地接连从箱中2次取球，第1次取出3只球，第2
次取出5只球．设X和Y分别表示这2次取出球中的白球数，则E(X|Y?1)为多少？ 解：条件期望E(X|Y?1)的含义是：在已知第二次取出的5只球中有1个白球的情况下，第一次取出3只球中平均白球数是多少？为求得条件期望E(X|Y?1)，先要求得Y?1条件下X的条件分布，即第二次抽取5只球中只有1只白球，其余4只是红球，因此第一次抽球只能在3只白球和1只红球中随机抽3只球，这时X至少为2，因为红球只有1个，故
P{X?0|Y?1?}P2{X?11Y?|， ? P{X?2|Y?1}?C3?C13C4?34，
P{X?3|Y?C31?}3C4314， ?由此可算得Y?1下的条件期望E(X|Y?1)?2?34?3?14?94。
9. 某大楼共有10层，某次有25人在一楼搭乘电梯上楼，假设每人都等可能的在2~10层中
的任一层出电梯，且出电梯与否相互独立，同时在2~10层中没有人上电梯。又知电梯只有在有人要出电梯时才停，求该电梯停的总次数的数学期望。