解 X的密度函数为?1, ???x??? fX(x)??2??0, 其它? E(Y)?E(YZ)????12?12???sinxdx?0, E(Z)????12???cosxdx?0,?????sinxcosxdx?0, cov(Y,Z)?E(YZ)?E(Y)E(Z)?0, covY,Z)D(Y)D(Z)?0.
所以 ?YZ? 6.二维随机变量(X,Y)的分布律为
YX -1 0 1 -1 1/8 1/8 1/8 0 1/8 0 a 1 1/8 1/8 b 问a,b取何值时，X与Y不相关？此时X与Y是否独立？
682814解 （1） ?a?b?1?a?b??，
3 E(Y)??1?832?81?0?8a?b?a?2b?，? 8E(X)??1?121?0?(?a)?1?(?b)?b?， 8888281818E(XY)?18?b??b? ，
若X与Y不相关，则b??(b?18)(a?b?28)?b?18,a?18;
（2）P?X?1,Y?1??18?P?X?1?P?Y?1??964不独立。
227. 已知随机变量X与Y分别服从正态分布N(1,3),N(0,4), 且X与Y的相关系数
?XY??12．设Z?X3?Y2， 求（１）Z的数学期望E(Z)和方差D(Z)；（２）X与Z的相关系数?XZ；（３）问X与Z是否相互独立？为什么？
解：(1) E(Z)?E(X3?Y2)?E(X)3?E(Y)2?13?02?13，
D(Z)?D(32X3Y)?D(2?)XY(D)X(D)Y12cov(?,)??32943 v (XcoY,)?9?424?13??XY?D(X)?D(Y)?1?4?113??12?3?4?3，
由于X与Y分别服从正态分布，所以Z也服从正态分布N(,3)；
3(2) 因为E(X)?1,E(Z)?2213,E(XZ)?E(22X32?XY2)，注意到
E(X)?D(X)?E(X)?3?1?10，且
cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)??XY?E(XY)??XY?D(X)?2D(X)?D(Y)，
?1?0??6，
D(Y)?E(X)E(Y)??E(XY?)10?63?421?，
3232311由协方差定义：cov(X,Z)?E(XZ)?E(X)E(Z)??1??0,33所以 E(XZ)?1E(X)?1??XZ?0；
(3)由于X与Z均服从正态分布N(1,3),N(,3)，故“相关系数为零”等价于“相
321互独立”，因此X与Z相互独立。
8. 设E(X)?E(Y)?1,E(Z)??1,D(X)?D(Y)?D(Z)?1，?XY=求E(X?Y?Z)和D(X?Y?Z)。
解：E(X?Y?Z)?E(X)?E(Y)?E(Z)?1?1?1?1；
D(X? ?EY?)Z??E(X??Y)Z?(E?X)? ?Y212，?XZ=?12，?YZ=
12，
Z2??X?(E?)X??2Y?(?E)Y??2?Z?( E)Z?2?X?E(X)??Y?E(Y)??2?Y?E(Y)??Z?E(Z)??2?X?E(X)??Z?E(Z)??
?D(X)?D(Y)??3?212D(Z?)1?1?212coXv(?Y,)2Yc?Zov( ZX?1?1?1?2???1?1?4。 2?2?9. 若随机变量X、Y相互独立同分布，均服从N(?,?2)，令???X??Y，???X??Y（?,?为不相等的常数），求随机变量?与?的相关系数???，并说明当?,?满足什么条件时，?,?不相关。
解：（1）依题意，有 E(X)?E(Y)??,D(X)?D(Y)??2，且Cov(X,Y)?0． 因为 ????co?v?(D(?),?)E???(E?)E?()D?(， )()()D?(?)D而 E(?)?E?(X??Y)??E(X?)? E(?)?E?(X??Y)??E(X?)? E(??)?E(?X?由方差公式可求出 E(X2)?D(?X)2 E(?Y)??(，? E(?Y)??(．?2??Y?)2?Y)(?X??Y?)E(?2X?22??E(2?X)2，? E(Y)2E(??X)??， 同理可得 E(Y)??22??，
2所以 E(??)??2(?2??2)??2(?2??2)?(?2??2)(?2??2)．
2又 D(?)?D?(X??Y)??D(X?)?2，同理有D(?Y)?(???)D(?)?(?222??)?22，
综合上述结果，可得 ????(???22)?(??222?)??(????)?(?22(???)?(???)?222??)??(?(???)?2222?2??)????22
222（2）若?,?不相关，则????0，因此?2??2?0，又???，则????时?,?不相关。
四、证明题
设X,Y是随机变量，U?aX?b,V?cY?d.其中a,b,c,d为常数，且a,c同号.证明：??XY
Cov(aX?b,cY?d)D(aX?b)D(cY?d)?acCov(X,Y)acD(X)D(Y)??XY.?UV证 ?UV?