解：由题设，每人在第i层下电梯的概率均为层下电梯，则有P?Ak??19,P?Ak??8919?i?2,3,?,10?，设Ak表示第k人在第i
(k?1,2,?,25)，
又?A1,?,A25相互独立，因此第i层无人下电梯（电梯不停）的概率为
?25?P??Ak???k?1??1,设Xi???0,第i层有人下第i层无人下25?P?A?kk?125?8?????9?25
，i?2,?,10，则
?8?P?Xi?0?????9??8? ,P?Xi?1??1????9?1025 ,i?2,3,?,10
因此，电梯停的总次数为X??i?2Xi，
?10?EX?E??Xi???i?2?10?E?X?ii?225??8???9?P?Xi?1??1?9?1???? 。
?9?????10. 设随机变量X的概率密度为
?ax f(x)???2?bx?c,0,0?x?1其他.
已知: E（X）=0.5, D（X）=0.15, 求系数a、b、c。
解：由密度函数性质及已给条件，知有
1?12????f(x)dx???ax012?bx?cdx??a3?b2?c，?2a?3b?6c?6，
?E(X)?2????xf(x)dx??2?0?1xax?bx?cdx?2?a4?b3?a5c2?，?3a?4b?6c?6，
b4?c3 E(X)????xf(x)dx?22?01x2?a5ax?bx?cdx??b4?c3?142?，
0.15?D(X)?E(X)?E(X)?，?12a?15b?20c?24，
c?3。
三个方程，三个变量，解之可得：a?12,b??12,11. 设随机变量X，Y相互独立，且都服从N??,?2?，设Z?max?X,Y?，求E?Z?。
解：设U?X???,V?Y???，则X??U??,Y??V??，由于X与Y相互独立
?U,V相互独立，且U~N?0,1?,V~N?0,1?
?Z?max?X,Y??max??U??,?V?????max?U,V???
?U,V相互独立，且U~N?0,1?,V~N?0,1?，则有T?U?V~N?0,2?
12??212t2?E?T???????te?2?2dt?2?
而max?U,V???U12?V?U?V?，则有
E??max?U,V?????EU?EV?EU?V??1。
?????。
因此E??max?X,Y?????E??max?U,V??????四、证明题
设随机变量X和Y相互独立，试证明
D(X?Y)?D(X)D(Y)?E(X)D(Y)?E(Y)D(X)222．
证明：D(X?Y)?E?(XY)?E(XY)??E?(XY)2?2XYE(XY)?E2(XY)?
?E(XY)2?2E(XY)E(XY)?E2(XY)?E(X2Y2)?E2(XY)， 因为X和Y相互独立，所以有E(X?Y)?E(X)?E(Y)，又
E(X2Y2)???????????xyf(x,y)dxdy?22?????xfX(x)dx?2????yfY(y)dy?E(X)E(Y)，
222从而有 D(XY)?E(X2)E(Y2)?E2(X)E2(Y)
2222222??E(X)?E(X)?E(Y)?E(X)E(Y)?E(X)E(Y)??
?D(X)E(Y)?E(X)?E(Y)?E(Y)? ???D(X)?E(Y)?E(Y)??D(X)E(Y)?E(X)D(Y) ???D(X)D(Y)?E(X)D(Y)?E(Y)D(X)2222222222。
§4.3 协方差和相关系数 §4.4 原点矩与中心矩
一、填空题
1.已知随机变量X~N??3,?1Y,Z?X?2Y?7,则Z~N?1?2,,且
X,Y相互独立,设随机变量
～ N(0,5) ；
372. 已知D(X)?25,D(Y)?36,?XY?0.4,则D(X?Y)?85 ,D(X?Y)?；
3. 随机变量X~N(2,16),Y服从参数??2的指数分布,X,Y的相关系数
?XY?0.5，则D(X?Y)?28；
12,若
4. 已知(X,Y)服从二维正态分布，且EX?EY?0,DX?1,DY?4,?XY?Z?aX?Y与Y独立，则a等于
?4；
5. 某学生做一物理实验，独立重复试验了100次，假设每次试验成功的概率为p，则当成功次数的标准差达到最大时p为 1/2 。
二、选择题
1. 如果X和Y满足D(X?Y)?D(X?Y), 则必有（B）
(A) X和Y独立； (B) X和Y不相关； (C )D(Y)=0； (D) D(X)D(Y)?0 2. 设随机变量X和Y独立同分布,记U?X?Y,V?X?Y则U和V必然（D） (A) 不独立； (B) 独立； (C) 相关系数不为零； (D) 相关系数为零. 3. 设随机变量X~N?0,1?，Y~N?1,4?且相关系数?XY?1，则（D）
?A? P?Y??2X?1??1；
??2X?1??1；
?B?
P?Y?2X?1??1；
?C?P?Y4.
?D?P?Y?2X?1??1.
3,C3o(v1?,X)X，则
2设随机变量X1,X2,X3满足Co(v1,X2?)X?X,?3X为（X)） D23Co(v21（A）16； （B）- 9； （C）12； （D）-14.
5. 设随机变量X和Y的相关系数为0.8，若Z?X?2，则Y与Z的相关系数为（D） （A）0； （B）1； （C）0.4； （D）0.8. 6. 下列命题错误的是 （B）
（A）X与Y不相关则E?XY??EX?EY； （B）X与Y不相关则X与Y相互独立； （C）随机变量X的方差DX?0； （D）?XY?1.
三、计算下列各题
1. 若随机变量?X,Y?在区域D上服从均匀分布D???x,y?0?x?1,0?y?x?, 求随机变量X,Y的相关系数。
解 A?1x??Ddxdy??0dx?0dy?12,?2,f(x,y)???0,1x(x,y)?D(x,y)?D121
E(x)?2?xdx?011x0xdy?2313,Ex???2?x202dx?x0dy?2,D(x)?Ex1????E(x)?222?118E(y)?2?dx?ydy?00,Ey???2?210dx?01?1?ydy?,D(y)?????,66?3?1814?23?13?136.
E?xy??2?xdx?ydy?001x14,Cov(x,y)?E(xy)?E(x)E(y)?1?XY?cov(x,y)D(x)D(y)?361/181/18?12。
2. 设随机变量(X,Y)的密度函数为 f(x,y)?Asin(x?y) 0?x??2 , 0?y??2
求：（1）系数A;(2)E(x),E(y),D(x),D(y);（3）协方差及相关系数。
??????解 (1)??????f?x,y?dxdy?A?2dx?2sinx(?y)dy?2A?1,00?A?0.5；
(2)E(x)?21212???020dx?2xsin?x?y?dy?0?1212??20?x?cosx?sinx?dx?2?4?2?2 E(x)?dx?xsin?x?y?dy?2202?0x2?cosx?sinx?dx?8??2?2 D(x)?E(x)??E?x???2?216??4?2,
?2;D(Y)??2由X与Y的对称关系,知E(Y)?16??2?2.(3)E?xy??12???20dx?2xysin?x?y?dy?0?2?1?2 于是cov?x,y??E?xy??E?x?E?y???2?1?16, ?xy?cov?x,y?D?x?D?y?????22?8??16?8??32
.3. 设随机变量X的概率密度为f?x??12e?x,???x???.求：
（1）E?X?,D?X?；（2）X与X的协方差，并问X与X是否不相关； （3）问X与X是否独立？为什么？ 解：（1）E?X E?X?????2201xedx??x??012xe?xdx?0，
???????x21x?edx?2,DX?2?0?2. 2（2）令Y?X,则EY?E?????x12e?xdx?1.
?XY??E?X?X?0 012 ?Cov,?Y?0?0??X?X与Y不相关.（3）对于任意实数a?0，0?P?X?a???a??e?xdx?1有
P?X?a,X?a??P?X?a??P?X?a?P?X?a?
?X与X不相互独立.
?2?x?y, 0?x?1, 0?y?1f(x,y)?)的概率密度为, 求X,Y的??0, 其它4. 设随机变量(相关系数。
解 E(X)?X,Y?dx?x(2?x?y)dy?0011512, E(X)?2?dx?x(2?x?y)dy?0011214
11511?5?D(X)???, 由对称性 E(Y)?, D(Y)?,??4?12?14412144
1111E(XY)??dx?xy(2?x?y)dy?, Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)??006144所以 X和Y的相关系数为:?XY?Cov(X,Y)DXDY??11112 。
5. 设随机变量X服从[??,?]上的均匀分布，令Y?sinX,Z?cosX，求?YZ。