数学二历年考研试题 （7）设
A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵. 若A3?0，则（ ）
?A?E?A不可逆，E?A不可逆. ?C?E?A可逆，E?A可逆.
（8）设
?B?E?A不可逆，E?A可逆. ?D?E?A可逆，E?A不可逆.
?12?A???，则在实数域上与A合同的矩阵为（ ）
?21?
?A????21??.
1?2???B???2?1??.
?12???21??C???.
?12?
?1?2??D???.
??21?1?cos[xf(x)](e?1)f(x)x2二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9） 已知函数
f(x)连续，且limx?0?1，则f(0)?____.
（10）微分方程(y?x（11）曲线sin2?xe)dx?xdy?0的通解是y?____.
?xy??ln?y?x??x在点?0,1?处的切线方程为?????????????????.
23（12）曲线
y?(x?5)x?y?????x?xy的拐点坐标为______.
（13）设z，则
?z?x(1,2)?____.
（14）设3阶矩阵
A的特征值为2,3,?.若行列式2A??48，则??___.
三、解答题：15－23题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
sinx?sin?sinx??sinx???(15)（本题满分9分）求极限lim. x?0x4
21
数学二历年考研试题
(16)（本题满分10分）
?dxx?x(t)??2te?x?0??设函数y?y(x)由参数方程?确定，其中x(t)是初值问题?dt的解.求t2??y??0ln(1?u)du??xt?0?0?2y?x2.
(17)（本题满分9分）求积分
?1xarcsinx01?x2dx.
(18)（本题满分11分）
求二重积分??max(xy,1)dxdy,其中D?{(x,y)0?x?2,0?y?2}
D
22
数学二历年考研试题
(19)（本题满分11分）
设
f(x)是区间?0,???上具有连续导数的单调增加函数，且f(0)?1.对任意的t??0,???，直线
x?0,x?t，曲线y?f(x)以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周生成一旋转体.若该旋转体的侧面积
在数值上等于其体积的2倍，求函数
(20)（本题满分11分）
(1) 证明积分中值定理：若函数
f(x)的表达式.
f(x)在闭区间[a,b]上连续，则至少存在一点??[a,b]，使得
3?
ba (2)若函数?(x)具有二阶导数，且满足?(2)??(1),?(2)???(x)dx，证明f(x)dx?f(?)(b?a)2至少存在一点??(1,3),使得???(?)?0
（21）（本题满分11分）
求函数u
23
?x2?y2?z2在约束条件z?x2?y2和x?y?z?4下的最大值与最小值.
数学二历年考研试题
（22）（本题满分12分）
设矩阵
?2a1??2?a2a??，现矩阵AA?????1???2a2a??n?n满足方程
AX?B，其中X??x1,?,xn?T，
B??1,0,?,0?，
（1）求证
A??n?1?an；
（2）a为何值，方程组有唯一解，并求x1； （3）a为何值，方程组有无穷多解，并求通解.
（23）（本题满分10分）
设
A为3阶矩阵，?1,?2为A的分别属于特征值?1,1特征向量，向量?3满足A?3??2??3，
（1）证明?1,?2,?3线性无关； （2）令P?
24
??1,?2,?3?，求P?1AP.
数学二历年考研试题
2007年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题
一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）当x?0?时，与x等价的无穷小量是
x （A）1?e （B）ln1?x （C）1?x?1 （D）1?cosx [ ]
1?x(ex?e)tanx（2）函数f(x)?在???,??上的第一类间断点是x? [ ]
1??x?ex?e????? （A）0 （B）1 （C）? （D）
22（3）如图，连续函数
y?f(x)在区间??3,?2?,?2,3?上的图形分别是直径为
x01的上、下半圆周，在区间
??2,0?,?0,2?的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设F(x)??f(t)dt，则下列结论正确的是：
（A）F(3)35??F(?2) (B) F(3)?F(2)
4435（C）F(3)?F(2) （D）F(3)??F(?2) [ ]
44
（4）设函数
f(x)在x?0处连续，下列命题错误的是：
f(x)f(x)?f(?x)存在，则f(0)?0 （B）若lim存在，则f(0)?0 .
x?0x?0xxf(x)f(x)?f(?x) （C）若lim存在，则f?(0)?0 （D）若lim存在，则f?(0)?0.
x?0x?0xx （A）若lim
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