数学二历年考研试题
（C）?ln2?1.
（D）ln2?1.
[ ]
（10）函数
y?C1ex?C2e?2x?xex满足的一个微分方程是 y???y??2y?3xex. y???y??2y?3xex.
?40
（A）（C）
1（B）（D）
y???y??2y?3ex.
y???y??2y?3ex. [ ]
（11）设
f(x,y)为连续函数，则?d??f(rcos?,rsin?)rdr等于
0（Ａ）
?220dx?1?x2xf(x,y)dy. （B）?220dx?dy?1?x20f(x,y)dy.
(C)
?220dy?1?y2yf(x,y)dx.
(D)
?221?y200f(x,y)dx . [ ]
（12）设
f(x,y)与?(x,y)均为可微函数，且?y?(x,y)?0，已知(x0,y0)是f(x,y)在约束条件
?(x,y)?0下的一个极值点，下列选项正确的是 [ ]
(A) 若(B) 若
fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0.
(C) 若(D) 若
（13）设?1,?2,?,?s均为n维列向量，
(A) (B)
A为m?n矩阵，下列选项正确的是 [ ]
若?1,?2,?,?s线性相关，则若?1,?2,?,?s线性相关，则
A?1,A?2,?,A?s线性相关. A?1,A?2,?,A?s线性无关.
(C) 若?1,?2,?,?s线性无关，则(D) 若?1,?2,?,?s线性无关，则
（14）设
A?1,A?2,?,A?s线性相关.
A?1,A?2,?,A?s线性无关.
A为
3阶矩阵，将
A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的?1倍加到第2列得C，记
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数学二历年考研试题
?110???P??010?，则
?001???（Ａ）C（Ｃ）C?P?1AP. ?PTAP.
（Ｂ）C （Ｄ）C?PAP?1. ?PAPT.
［ ］
三 、解答题：15－23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分） 试确定A,B,C的值，使得e无穷小.
x(1?Bx?Cx2)?1?Ax?o(x3)，其中o(x3)是当x?0时比x3高阶的
（16）（本题满分10分）求
arcsinex?exdx.
（17）（本题满分10分）设区域D
?(x,y)x2?y2?1,x?0??， 计算二重积分??1?1x?xy?y2D2dxdy.
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数学二历年考研试题
（18）（本题满分12分）设数列
?xn?满足0?x1??,xn?1?sinxn(n?1,2,?)
1（Ⅰ）证明limn??x）计算lim?xn?1?xn2n存在，并求该极限；（Ⅱn????x?. n?
（19）（本题满分10分）
证明：当0?a?b??时，
bsinb?2cosb??b?asina?2cosa??a.
（20）（本题满分12分）
设函数
f(u)在(0,??)内具有二阶导数，且z?f?2x2?y2?满足等式?2z??x2?z?y2?0.
（I）验证f??(u)?f?(u)u?0； （II）若f(1)?0,f?(1)?1，求函数f(u)的表达式.
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数学二历年考研试题
（21）（本题满分12分）
?x?t2?1,已知曲线L的方程?（II）过点(?1,0)引L的切线，求切点(t?0)（I）讨论L的凹凸性；
2?y?4t?t（III）求此切线与L（对应于x?x0的部分）及x轴所围成的平面图形的面积. (x0,y0)，并写出切线的方程；
（22）（本题满分9分）
已知非齐次线性方程组
?x1?x2?x3?x4??1??4x1?3x2?5x3?x4??1有?ax?x?3x?bx?134?12（Ⅱ）求a,b的值及方程组的通解. r?A??2；
（23）（本题满分9分）
设3阶实对称矩阵
3个线性无关的解.（Ⅰ）证明方程组系数矩阵
A的秩
A的各行元素之和均为
3,向量?1???1,2,?1?,?2??0,?1,1?TT是线性方程组
Ax?0的两个解.
(Ⅰ) 求A的特征值与特征向量；
(Ⅱ) 求正交矩阵Q和对角矩阵?,使得Q
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TAQ??.
数学二历年考研试题
2005年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题
二、 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） （1）设
y?(1?sinx)x，则dy(1?x)x32x?? = .
（2）曲线
y?的斜渐近线方程为 . （3）
?(2?x01xdx2)1?x2? .
1的解为 . 9（4）微分方程xy??2y（5）当x?xlnx满足y(1)???0时，?(x)?kx2与?(x)?1?xarcsinx?cosx是等价无穷小，则k= .
（6）设?1,?2,?3均为3维列向量，记矩阵
A?(?1,?2,?3)，B?(?1??2??3,?1?2?2?4?3,?1?3?2?9?3)，
如果
A?1，那么B? .
二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （7）设函数
f(x)?limn1?xn??3n，则f(x)在(??,??)内
(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.
(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ ]
（8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，\M(A)
F(x)是偶函数?f(x)是奇函数.
（B） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数.
(C) F(x)是周期函数?f(x)是周期函数.
?N\表示“M的充分必要条件是N”，则必有
(D) F(x)是单调函数?f(x)是单调函数. [ ]
?x?t2?2t,（9）设函数y=y(x)由参数方程?确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x轴交点的横坐标是
?y?ln(1?t)(A) (C)
11ln2?3. (B) ?ln2?3. 88?8ln2?3. (D) 8ln2?3. [ ]
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