湖北省武汉市部分重点中学2014-2015学年度下学期高二期末考试
数 学 试 卷(理科）
全卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数
21?i? 等于（ ） 1?iiA. i B. 0 C.-i D.1+i
22．设f(x)?x?2x?4lnx，则函数f(x)单调递增区间为
（A） (0,??) （B）(?1,0)和(2,??) （C）(2,??) (D)(?1,0) 3．函数y?f(x)的图象如图所示，若
B．2m C．?m D．0
??02?f(x)dx?m，则?0f(x)dx等于（ ） A
．
m
x2y224．已知双曲线2?2?1?a?0,b?0?的离心率为2，一个焦点与抛物线y?16x的焦点相同，则双
ab曲线的渐近线方程为（ ） A. y??333x B. y??3x C.y??x D.y??x
2231x25．曲线y?e2在点(4,e)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 （ ）
222A．e B．2e C．4e D．6．下列命题错误的是 （ ）
92e 222A、命题“若m?0，则方程x?x?m?0有实数根”的逆否命题为“若方程x?x?m?0无实数根，
则m?0”
2B、“x?1 ”是“x?3x?2?0”的充分不必要条件
22C、对于命题p:?x?R,使得x?x?1?0，则?p:?x?R，均有x?x?1?0
D、若p?q为假命题，则p,q均为假命题
7.棱长均为3三棱锥S?ABC，若空间一点P满足SP?xSA?ySB?zSC(x?y?z?1)则SP的最小值为( )
1
A、6 B、
63 C、 D、1 368．已知函数y?(x?1)f?(x)的图象如图所示，其中f?(x)为函数f(x)的导函数，则y?f(x)的大致图象是( )
y -1
O 1 x
9．如图，过双曲线上左支一点A作两条相互垂直的直线分别过两焦点，其中一条与双曲线交于点B，若三角形ABF2是等腰直角三角形，则双曲线的离心率为 （ ）
A．5?22 B．5?22 D．4?22 C．4?22
E，F分别是AB1，10．如图，在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，
点，则以下结论中不成立的是（ ） ．．．A．EF与BB1垂直 C．EF与CD异面 11．已知函数
B．EF与BD垂直 D．EF与AC11异面
A
D1A1B1BC1的中
C1F C
EDB
y?f(x)对任意的x?R满足
f'(x)是函数f(x)的导函数），则下列不等式成立的是（ ） ?(（其中)2xfx'(?x)fx2A．2f(?2)?f(?1) B．2f(1)?f(2) C．4f(?2)?f(0) D．2f(0)?f(1)
2
x12．定义方程f(x)?f'(x)的实数根0叫做函数f(x)的“新驻点”，若函数
g(x)?x,h(x)?ln(x?1),1),??((xx))??xx3??11的“新驻点”分别为?,?,?，则?,?,?的大小关系为（ ）
A．?????
B．????? C．????? D．?????
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．复数
4?3i的虚部为 . 1?2i11111???.????（n为正偶数），从“n=2k”到234n?1n14．用数学归纳法证明某命题时，左式为1?“n=2k+2”左边需增加的代数式为________.
|PF2|215．设F1 , F2为双曲线2?2?1的左右焦点，点P在双曲线的左支上，且的最小值为8a，则
|PF1|abx2y2双曲线的离心率的取值范围是 ． 16．已知x??0,???，不等式x?1427a?2，x?2?3，x?3?4，?，可推广为x?n?n?1，则axxxx等于 .
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）
已知命题p：?x??1,2?,x?a?0，命题q：?x0?R,x0?2ax0?2?a?0，若“p且q”为真命题，
22求实数a的取值范围．
18．（本题满分12分） 已知函数f(x)?x?alnx． （1）当a??2e时,求函数f(x)的单调区间和极值； （2）若函数g(x)?f(x)?22在[1,4]上是减函数,求实数a的取值范围． x
19.（本题满分12分） 如图，在三棱锥S?ABC中，侧面SABS与侧面
SAC均为等边三角形，?BAC?90°，O为BC中点． （Ⅰ）证明：SO?平面ABC；
（Ⅱ）求二面角A?SC?B的余弦值．
OCBA 3
x2y2220. (本小题满分12分)已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的焦距为23,离心率为,其右焦点为F,
2ab过点B(0,b)作直线交椭圆于另一点A．
????????（1）若AB?BF??6,求?ABF外接圆的方程;
x2y21M(2,0)（2）若过点的直线与椭圆N:2?2?相交于两点G、H，设P为N上一点，且满足ab3????????????????????25OG?OH?tOP（O为坐标原点），当PG?PH?时，求实数t的取值范围．
321.(本小题满分12分) 已知函数f(x)?alnx?2(a?R)． x?1（1）当a?1时，求f(x)在x?[1,??)最小值； （2）若f(x)存在单调递减区间，求a的取值范围； （3）求证：ln(n?1)?
请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，解答时请写清题号。 22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，已知PA与圆O相切于点A，半径OB?OP，AB交PO于点C， （Ⅰ）求证：PA?PC；（Ⅱ）若圆O的半径为3，OP?5，求BC的长度．
23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
O ●1111*?????（n?N）． 3572n?1A C P
B x轴的正半
?x?8cost已知曲线C1：? （t为参数），以坐标原点为极点，
y?3sint? 4
轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为??7．
cos??2sin?（Ⅰ）将曲线C1的参数方程化为普通方程，将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）设P为曲线C1上的点，点Q的极坐标为(42,3?)，求PQ中点M到曲线C2上的点的距离的最4小值．
24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知a＋b＝1，对?a，b∈（0，＋∞），1a＋4b≥｜2x－1｜－｜x＋1｜恒成立， （Ⅰ）求
14a＋b的最小值； （Ⅱ）求x的取值范围。
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