湖北省武汉市部分重点中学2014-2015学年度下学期高二期末考试
数 学 试 卷（理科）
一、选择题：BCDBA DABBD AC 二、填空题： 13．-1 14．
1111n2k?1?2k?2 （写n+1-n+2 也给分）15．(1, 3] 16．n
三、解答题：
17.解析：由“p且q”为真命题，则p，q都是真命题．
p：x2?a在?1,2?上恒成立，只需a??x2?min?1，所以命题p：a?1；
q：设f?x??x2?2ax?2?a，存在x0?R使f?x0??0，只需??4a2?4?2?a??0，即a2?a?2?0?a?1或a??2，所以命题q：a?1或a??2.
由??a?1?a?1或a??2得a?1或a??2
故实数a的取值范围是a?1或a??2 18．【解析】（1）定义域(0,+?),f'(x)?2(x?e)(x?e)x,???2分
(0,e)减,(e,+?)增 ???4分 f极小(x)?f(e)?0 ???6分
（2）g('x)?2x?ax?2x2???8分 g('x)?0在?1,4?上恒成立,a?2x-2x2,???10分
h(x)?2x-2x2在?1,4?为减函数,a?h(x)?h(4)??63min2???12分
19.解：（Ⅰ）由题设AB=AC=SB=SC?SA，连结OA，△ABC为等腰直角三角形，
所以OA?OB?OC?22SA，且AO?BC，又△SBC为等腰三角形， SO?BC，且SO?2SA，从而OA2?SO2?SA22． 所以△SOA为直角三角形，SO?AO．
又AO?BO?O． 所以SO?平面ABC．???????6分
6
（Ⅱ）解法一：取SC中点M，连结AM，OM，由（Ⅰ）知SO?OC，SA?AC， 得OM?SC，AM?SC．∴?OMA为二面角A?SC?B的平面角． 由AO?BC，AO?SO，SO?BC?O得AO?平面SBC． 所以AO?OM，又AM?AO263． SA，故sin?AMO???2AM333??????12分 3所以二面角A?SC?B的余弦值为解法二：以O为坐标原点，射线OB，OA分别为x轴、y轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系O?xyz．
设B(1，0，0)，则C(?1，0，，0)A(01，，，0)S(0，01)，．
??1?1??????11?????11?????SC的中点M??，0，?，MO??，0，??，MA??，1，??，SC?(?1，0，?1)．
222222???????????????????????∴MO?SC?0，MA?SC?0．
?????????故MO?SC，MA?SC， ??????????????????MO?MA3cos?MO，MA??????， ??????3MO?MA所以二面角A?SC?B的余弦值为 20.解：（1）由题意知：c?3，e?3．???12分 3c2222?，又a?b?c， a2x2y2a?6,b?3?1 2分 解得：?椭圆C的方程为：?63????????可得：B(0,3)，F(3,0),设A(x0,y0)，则AB?(?x0,3?y0)，BF?(3,?3)， ?????????AB?BF??6，??3x0?3(3?y0)??6，即y0?x0?3 7 ?43?x02y02x??0??1???x0?0?3??由?6，或? 3??y0??3?y?3?y?x?30?00?3?433即A(0,?3)，或A(,) 4分 33①当A的坐标为(0,?3)时，OA?OB?OF?3，??ABF外接圆是以O为圆心，3为半径的 22x?y?3 5分 圆，即 ②当A的坐标为(433,)时，kAF?1，kBF??1，所以?ABF为直角三角形，其外接圆是以线段AB332323115， ,)，半径为AB?3323为直径的圆，圆心坐标为(??ABF外接圆的方程为(x?2322325)?(y?)? 33322x?y?3，或(x?23)2?(y?23)2?5 6分 综上可知：?ABF外接圆方程是 333（2）由题意可知直线GH的斜率存在． 设GH:y?k(x?2)，G(x1,y1)，H(x2,y2)，P(x,y) ?y?k(x?2)2222?2(1?2k)x?8kx?8k?2?0 由?x得： ?y2?1??2422??64k?4(2k?1)(8k?2)?0得：k2?1（?） 8分 由 28k28k2?2x1?x2?,x1x2? 1?2k21?2k2????????25????25252?PG?PH?，?HG?即1?kx1?x2? 333?k2?1，结合（?）得： 10分 4 8 ????OG??????OH?tOP????，?(x1?x2,y1?y2)?t(x,y) 从而x?x1?x2t?8k2y1?y21?4kt(1?2k2)，y?t?t[k(x1?x2)?4k]?t(1?2k2) ?点P在椭圆上，?[8k22?4k216k2?t2(1?2t(1?2k2)]?2[t(1?2k2)]?2，整理得：2k) 即t2?8?81?2k2，??2?t??263，或263?t?2 12分 21.解：（1）f(x)?lnx?2x?1，定义域为(0,??)． ?f'(x)?12x2?1x?(x?1)2?x(x?1)2?0 ?f(x)在(0,??)上是增函数． f(x)min?f(1)?1. （2）因为f'(x)?a2ax2?2(a?1)x?ax?(x?1)2?x(x?1)2 因为若f(x)存在单调递减区间，所以h'(x)?0有正数解. 即ax2?2(a?1)x?a?0有x?0的解 当a?0时，明显成立 . ②当a?0时，y?ax2?2(a?1)x?a开口向下的抛物线，ax2?2(a?1)x?a?0总有x?0的解；③当a?0时，y?ax2?2(a?1)x?a开口向上的抛物线， 即方程ax2?2(a?1)x?a?0有正根. 因为x1x2?1?0， 所以方程ax2?2(a?1)x?a?0有两正根. 当x?1时，f(x)?f(1)?1； 9 ????0，解得0?a?1?x． 1?x2?02综合①②③知：a?12． 或： ax2?2(a?1)x?a?0有x?0的解 即 a(x2?2x?1)?x有x?0的解 即 a?x(x2?2x?1)有x?0的解 a?x1(x2?2x?1)的最大值(x?0)，?a?2 （3）（法一）根据（Ⅰ）的结论，当x?1时，lnx?2x?1?1，即lnx?x?1x?1． 令x?k?1k，则有lnk?1nk?1k?1n12k?1， ??ln?k?1k?． k?12k?1n?ln(n?1)??lnk?1k?1k， ?ln(n?1)?13?115???2n?1． (法二)当n?1时，ln(n?1)?ln2． ?3ln2?ln8?1，?ln2?13，即n?1时命题成立． 设当n?k时，命题成立，即 ln(k?1)?1113?5???2k?1． ?n?k?1时，ln(n?1)?ln(k?2)?ln(k?1)?lnk?2k?1?13?15???12k?1?lnk?2k?1．根据（Ⅰ）的结论，当x?1时，lnx?2x?1?1，即lnx?x?1x?1． 令x?k?2k?21k?1，则有lnk?1?2k?3， 则有ln(k?2)?1113?5???2k?1?12k?3，即n?k?1时命题也成立． 因此，由数学归纳法可知不等式成立． 10