3.5 求下列二个信道的信道容量，并加以比较
?p??p??2???p??p?????（1）
?p??p??2?? （2）?p??p?????其中p+p=1
2?00?? 2???
解：
（1）此信道是准对称信道，信道矩阵中Y可划分成三个互不相交的子集 由于集列所组
?p??成的矩阵??p???p????2???,??而这两个子矩阵满足对称性，因此可直接利用准对?2??p??????2称信道的信道容量公式进行计算。 C1=logr-H(p1’ p2’ p3’)-
?NklogMk
k?1其中r=2,N1=M1=1-2? N2=2? M2=4? 所以 C1=log2-H(p??,p-ε,2ε)-(1-2?)log(1-2?)-2?log4?
=log2+(p??)log(p??)+(p-ε)log(p-ε)+2εlog2ε-(1-2ε)log(1-2ε)-2εlog4ε =log2-2εlog2-(1-2ε)log(1-2ε)+(p??)log(p??)+(p-ε)log(p-ε) =(1-2ε)log2/(1-2ε)+(p??)log(p??)+(p-?)log(p-?) 输入等概率分布时达到信道容量。
（2）此信道也是准对称信道，也可采用上述两种方法之一来进行计算。先采用准对称信
道的信道容量公式进行计算，此信道矩阵中Y可划分成两个互不相交的子集，由子
?p??集列所组成的矩阵为??p???C=logr-H(p-?,p-ε,2ε,0)-2p????2??，??0p?????0??这两矩阵为对称矩阵 其中2???r=2,N1=M1=1-2? N2=M2=2?，所以
?NklogMk
k?1=log2+(p-?)log(p-?)+(p-ε)log(p-ε)+2εlog2ε-(1-2ε)log(1-2ε)-2εlog2ε =log2-(1-2ε)log(1-2ε)+( p-?)log(p-?)+(p-ε)log(p-ε) =(1-2ε)log2/(1-2ε)+2εlog2+(p-?)log(p-?)+(p-ε)log(p-ε) =C1+2εlog2
输入等概率分布（P（a1）=P（a2）=1/2）时达到此信道容量。比较此两信道容量，可得C2=C1+2εlog2
3-6 设有扰离散信道的传输情况分别如图3－17所示。求出该信道的信道容量。
X1/21/21/21/21/21/21/2Y1/2图3-17
00???0110?22? 解：?11?0022??11?00?22?1212对称信道
C?logm?H(Y|ai)
1?log4??2log2
2取2为底 C?1bit/符号
3-7 (1)
条件概率 ，联合概率，后验概率
111p(y0)?? ， p(y1)?? ，p(y2)??
326
（2） H(Y/X)=
（3）
当接收为y2，发为x1时正确，如果发的是x1和x3为错误，各自的概率为：
P(x1/y2)=，P(x2/y2)=，P(x3/y2)=
555113其中错误概率为： Pe=P(x1/y2)+P(x3/y2)=（4）平均错误概率为
（5）仍为0.733 （6）此信道不好
原因是信源等概率分布，从转移信道来看 正确发送的概率x1-y1的概率0.5有一半失真 x2-y2的概率0.3有失真严重 x3-y3的概率0 完全失真 （7）
H(X/Y)=
16Log(2)?110Log(5)?115Log??5?2?215Log??5?2?110110Log??5?3?130310Log??5?3?15?35?0.8
??????Log(5)????Log(10)????1.301
3. 8 设加性高斯白噪声信道中，信道带宽3kHz，又设{(信号功率+噪声功率)/
噪声功率}=10dB。试计算该信道的最大信息传输速率Ct。
解：
3. 9 在图片传输中，每帧约有2.25?106个像素，为了能很好地重现图像，能分16个亮度电平，并假设亮度电平等概分布。试计算每分钟传送一帧图片所需信道的带宽（信噪功率比为30dB）。
解：
H?log2n?log216?4 bit/symbolI?NH?2.25?106?4?9?106 bit?10I9?106Ct???1.5?105 bit/st60?PX?Ct?Wlog??1?P??N??Ct
3-10 一个平均功率受限制的连续信道，其通频带为1MHZ，信道上存在白色高斯噪声。 （1）已知信道上的信号与噪声的平均功率比值为10，求该信道的信道容量；
（2）信道上的信号与噪声的平均功率比值降至5，要达到相同的信道容量，信道通频带应
1.5?105W???15049 Hz)?PX?log2(1?1000log??1?P??N??
为多大？
（3）若信道通频带减小为0.5MHZ时，要保持相同的信道容量，信道上的信号与噪声的平均功率比值应等于多大？ 解：（1）C?Wlog2(1?SNR) ?1?106log2(1?10) ?3.159Mbps
（2）C2?W2log2(1?5)?3.459Mbps
?W2?3.159M?1.338MHZ
log263.459 0.5（3）C3?W3log2(1?SNR')?3.459Mbps
log2(1?SNR')??SNR?120
?21??33??12???33?? 3.1 设二元对称信道的传递矩阵为
(1) 若P(0) = 3/4, P(1) = 1/4，求H(X), H(X/Y), H(Y/X)和I(X;Y)； (2) 求该信道的信道容量及其达到信道容量时的输入概率分布；
解： 1)
3311H(X)???p(xi)??(?log2??log2)?0.811 bit/symbol4444iH(Y/X)????p(xi)p(yj/xi)logp(yj/xi)ij322311111122 ??(?lg??lg??lg??lg)?log210433433433433 ?0.918 bit/symbol3211p(y1)?p(x1y1)?p(x2y1)?p(x1)p(y1/x1)?p(x2)p(y1/x2)?????0.583343433112p(y2)?p(x1y2)?p(x2y2)?p(x1)p(y2/x1)?p(x2)p(y2/x2)?????0.41674343H(Y)???p(yj)??(0.5833?log20.5833?0.4167?log20.4167)?0.980 bit/symboljI(X;Y)?H(X)?H(X/Y)?H(Y)?H(Y/X)H(X/Y)?H(X)?H(Y)?H(Y/X)?0.811?0.980?0.918?0.749 bit/symbolI(X;Y)?H(X)?H(X/Y)??0.811?0.749?0.062 bit/symbol 2)
1122C?maxI(X;Y)?log2m?Hmi?log22?(lg?lg)?log210?0.082 bit/symbol33331 23-2某信源发送端有2个符号，xi，i＝1，2；p(xi)?a，每秒发出一个符号。接受端有3
其最佳输入分布为p(xi)?种符号yi，j＝1，2，3，转移概率矩阵为P???1/21/20??。
1/21/41/4??（4） 计算接受端的平均不确定度；
（5） 计算由于噪声产生的不确定度H(Y|X)； （6） 计算信道容量。
?1/21/20?解：P???
1/21/41/4??联合概率p(xi,yj)
X Y y1 a/2 y2 a/2 y3 0 x1 x2 则Y的概率分布为 Y （1）H(Y)? (1?a)/2 (1?a)/4 (1?a)/4y1 1/2 y2 (1?a)/4 y3 (1?a)/411+a41?a4log2?log?log 241?a41?a1116a1?a?log2?log?log 2241?a41?a1111a1?a?log2?log16?log?log 2441?a241?a311a1?a?log2?log?log 2241?a41?a取2为底
311a1?aH(Y)?(?log2?log)bit 22241?a41?a1a11?a11?a11?a1??a（2）H(Y|X)???log?log?log?log?log?
222224444??23(1?a)??alog2?log2
23?a?log2
2取2为底
H(Y|X)?3?abit 211a1?a??a?c?maxI(X;Y)?max?H(Y)?H(Y|X)??max?log2?log?log?p(xi)p(xi)p(xi)41?a241?a??2